Burnside引理和Polya定理

Burnside 引理

设 $A$ 和 $B$ 为有限集合，$X$ 为 $A\to B$ 的一个映射集合，$G$ 是 $A$ 上的一个置换群，$X/G$ 表示置换群 $G$ 作用在 $X$ 上产生的所有映射的等价类的集合（若 $X$ 中两个映射经过 $G$ 中的置换作用后相等， 那么这两个映射属于同一个等价类），则：

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$

其中 X g = { x ∣ x ∈ X , g ( x ) = x } X^g=\{x|x\in X ,g(x)=x\} Xg={x∣x∈X,g(x)=x}，即 $g$ 作用在 $X$ 上的不动点。

可以翻译为：等价类个数=置换群中每个置换的不动点的平均数。

证明：

这里给出 Burnside 引理的更一般些的情况。

设有限集 $F,G$ 和二元运算符 $\ast :F\times G\to F$ 和 $\ast :G\times G\to G$。

其中存在 $e\in G$，对于任意 $f\in F,g_1,g_2,g_3\in G$，满足：

$$\begin{array}{rl}(g_1\ast g_2)\ast g_3& =g_1\ast (g_2\ast g_3)\\ g_1\ast g_2& =g_2\ast g_1\\ g_1\ast e& =g_1\\ {\exists }_{g_1^{-1}\in G},g_1\ast g_1^{-1}& =e\\ (f\ast g_1)\ast g_2& =f\ast (g_1\ast g_2)\end{array}$$

对于任意 $f_a,f_b\in F$，定义 $f_a,f_b$ 等价当且仅当存在 $g\in G$，使得 $f_a\ast g=f_b$，记作 $f_a\equiv f_b$。容易验证该等价关系是自反、对称、传递的。

定义 S : = { { h ∈ F : f ≡ h } : f ∈ F } S:=\{\{h\in F:f\equiv h\}:f\in F\} S:={{h∈F:f≡h}:f∈F}，即所有等价类构成的集合。

定义 $c:G\to 2^F$ 根据 c ( g ) : = { f ∈ F : f ∗ g = f } c(g):=\{f\in F:f*g=f\} c(g):={f∈F:f∗g=f}，即 $g$ 的不动点。

定义 $c:F\to 2^G$ 根据 c ( f ) : = { g ∈ G : f ∗ g = f } c(f):=\{g\in G:f*g=f\} c(f):={g∈G:f∗g=f}，即 $f$ 的稳定核。

那么 Burnside 引理说明的是：

$$|S|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|c(g)|$$

为证明此事，我们先将 ${\sum }_{g\in G}|c(g)|$ 转化：

$$\begin{array}{rl}& \sum _{g\in G}|c(g)|\\ =& \sum _{f\in F}|c(f)|\\ =& \sum _{E\in S}\sum _{f\in E}|c(f)|\end{array}$$

现在对于某个等价类 $E$ 来考虑。

我们先证明，对于所有 $f_1,f_2\in E$，都有 $c(f_1)=c(f_2)$。

根据定义，存在 $g_1\in G$ 使得 $f_1\ast g_1=f_2$，那么对于任意 $g_2\in c(f_1)$，有：

$$f_2\ast g_2=(f_1\ast g_1)\ast g_2=f_1\ast g_2\ast g_1=f_1\ast g_1=f_2$$

于是 $g_2\in c(f_2)$，那么 $c(f_1)\subseteq c(f_2)$。同理可证 $c(f_2)\subseteq c(f_1)$，于是 $c(f_1)=c(f_2)$。

那么我们不妨记 $C=c(f)$，其中 $f\in E$。于是：

$$\sum _{f\in E}|c(f)|=\sum _{f\in E}|C|=|E|\cdot |C|$$

任取 $f_s\in E$。

根据有限选择引理，存在一个映射 $g_o:E\to G$，使得对于任意 $f\in E$ 都有 g o ( f ) ∈ { g ∈ G : f s ∗ g = f } g_o(f)\in \{g\in G:f_s*g=f\} go​(f)∈{g∈G:fs​∗g=f}，即对于每个 $f\in E$ 都选出了一个代表元 $g_o(f)$ 使得 $f_s\ast g_o(f)=f$。

考虑映射 $T:=E\times C\to G$ 根据 $T(f,g):=g_o(f)\ast g$，那么 $f_s\ast T(f,g)=f$。可以证明 $T(f,g)$ 为单射。

证明 $T(f,g)$ 也是满射。对于任意 $g_v\in G$，构造 $f:=f_s\ast g_v$ 和 $g:=g_v\ast g_o(f{)}^{-1}$，那么 $f\in E$ 且 $g\in C$（$f=f_s\ast g_v=f_s\ast g_0(f)\ast g=f\ast g$），且 $T(f,g)=g_v$。

从而 $T$ 是双射，于是 $|E|\cdot |C|=|G|$。那么：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|c(g)|\\ =& \frac{1}{|G|}\sum _{E\in S}|E|\cdot |C|\\ =& \frac{1}{|G|}\sum _{E\in S}|G|\\ =& |S|\end{array}$$

证毕。

Polya 定理

对于 $X$ 为 $A\to B$ 的所有映射的集合的情况，我们有：
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|B{|}^{c(g)}$$
其中 $c(g)$ 表示置换 $g$ 能拆分成的不相交的循环置换的数量，即置换 $g$ 中的环的数量。

解释起来很简单，我们只是把 Burnside 引理中的 $|X^g|$ 改成了 $|B{|}^{c(g)}$，这是因为 Burnside 引理中 $g(x)=x$ 的充要条件显然是 $g$ 中的每一个环内的所有元素都对应的是 $B$ 中的同一个元素。