【AGC023F】01 on Tree（树上一类全序问题）

显然如果没有树的限制，我们优先选 $0$，然后选 $1$。

如果有了树的限制，我们考虑下面这么一种贪心方法：假设当前能够选的点的集合为 $S$（初始时 $S$ 只包含根），然后选出 $S$ 中优先级最大的点 $u$（$0$ 的优先级大于 $1$ 的优先级）放在序列末尾，然后把 $u$ 从 $S$ 中删除，并且把 $u$ 的儿子都塞进 $S$ 里面，再重复上述过程直至 $S$ 为空为止。

这个贪心方法看起来很对，但可能会出现下面这种情况：

如图，我们选完根节点 $1$ 后，$S$ 中包含的是节点 $2$ 和节点 $3$，显然这两个优先级相同，那我们是不是随便选一个就好了呢？显然不是，因为如果选节点 $3$ 之后能得到两个 $0$，但如果选节点 $2$ 之后只能得到一个 $0$，所以显然选节点 $3$ 更优。

这说明当 $S$ 中两个点优先级相同时，应该还需要有第二关键字作比较。但你发现这个第二关键字不太好处理，下面两组数据应该能 hack 掉大部分：

1. 

   最优选择： { 1 , 3 , 5 , 6 , 2 , 4 , 7 , 8 , 9 } \{1,3,5,6,2,4,7,8,9\} {1,3,5,6,2,4,7,8,9}，得到序列： { 0 , 1 , 0 , 0 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 } \{0,1,0,0,1,0,1,1,1\} {0,1,0,0,1,0,1,1,1}。

2. 

   最优选择： { 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 9 , 10 , ⋯   , 114514 , 3 , 5 , 6 } \{1,2,4,7,8,9,10,\cdots,114514,3,5,6\} {1,2,4,7,8,9,10,⋯,114514,3,5,6}，得到序列： { 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ⋯   , 0 , 1 , 0 , 0 } \{0,1,0,1,0,0,0,\cdots,0,1,0,0\} {0,1,0,1,0,0,0,⋯,0,1,0,0}。

我们考虑换一种方法：我们先把所有点按优先级排序。

我们先取出最优的那个，设为 $u$。若 $u$ 为根，那么直接选即可；若 $u$ 不为根，那么设 $u$ 的父亲为 $f$，那么当 $f$ 被选之后是否一定马上选 $u$ 呢？如果 $f$ 的其他儿子的优先级都比 $u$ 小那么肯定是的，但如果有多个儿子和 $u$ 优先级相同呢？（就和我们一开始说的情况一样）答案也是肯定的，因为即使 $f$ 有多个和 $u$ 同样优先级的儿子，由于 $u$ 是堆里面最优的，所以这些儿子的优先级肯定也都是最优的，于是要选肯定是把这些儿子一起全部选完，所以这些儿子之间没有先后顺序之分，所以你钦定让 $f$ 被选之后马上选 $u$ 是没有问题的。

注意这个结论只针对最优的那个点 $u$，对其他点并不适用。但既然我们已经知道了这个结论，不妨直接把最优点 $u$ 的贡献给处理掉：若 $u$ 为根则直接选它，若 $u$ 不为根则 $f$ 被选之后马上选 $u$ ，不妨直接让 $u$ 和 $f$ 合并。然后再找到此时的最优点重复上述步骤。这个过程需要用可删堆/set来维护。注意由于一个点可能是由多个点合并得到的，此时的优先级是以 $\frac{0\text{的个数}}{1\text{的个数}}$ 作为比较标准，这个可以用全序来证明。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 200010
#define ll long long

using namespace std;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,rt[N],fa[N];
int nn0[N],nn1[N];
bool del[N];
ll ans;

struct cmp//重载set中int比较的方法
{
	bool operator()(const int &a,const int &b) const //这里末尾一定要有const
	{
		if(1ll*nn1[a]*nn0[b]==1ll*nn0[a]*nn1[b]) return a<b;
		return 1ll*nn1[a]*nn0[b]<1ll*nn0[a]*nn1[b];
	}
};

set<int,cmp>s;

int find(int x)
{
	return x==rt[x]?x:(rt[x]=find(rt[x]));
}

int main()
{
	del[0]=1;
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) rt[i]=i;
	for(int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) (read()?nn1[i]:nn0[i])++;
	for(int i=1;i<=n;i++) s.insert(i);
	int d0=0,d1=0;
	while(!s.empty())
	{
		int u=(*s.begin());
		s.erase(s.begin());
		int f=find(fa[u]);
		if(del[f])
		{
			del[u]=1;
			ans+=1ll*d1*nn0[u];
			d0+=nn0[u],d1+=nn1[u];
			continue;
		}
		s.erase(f);
		rt[u]=f;
		ans+=1ll*nn1[f]*nn0[u];
		nn0[f]+=nn0[u],nn1[f]+=nn1[u];
		s.insert(f);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}