【XSY4055】小K的疑惑（模拟最短路，值域并查集）

题面

小K的疑惑

题解

以下的数都是在 $b$ 进制意义下讨论。

默认 $n\ge b$，否则 $n<b$ 可以特判答案为 $1$。

考虑 DP，设 $d_r$ 表示所有模 $n$ 余 $r$ 的正整数中非零位个数的最小值，那么我们要求的即为 $d_0$。

我们考虑从 $d_r$ 转移出去：

• 我们可以考虑把这个模 $n$ 余 $r$ 的数末尾添上一个 $0$，此时余数变为了 $br\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，非零位个数不变，故：
  $$d_{br\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}\leftarrow d_r$$

• 我们也可以考虑把这个模 $n$ 余 $r$ 的数末尾添上一个非零数 $s$（$1\le s<b$），此时余数变为了 $(br+s)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，非零位个数加 $1$，故：
  $$d_{(br+s)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}\leftarrow d_r+1$$

那么初始状态也就出来了：
$$d_r\leftarrow 1(1\le r<b)$$
暴力建边是 $O(nb)$ 的，接下来考虑如何优化转移。

我们把 $d_r$ 看做点 $r$，那么 $d_r$ 的转移就是在图上跑 $01$ 最短路。

利用到边权只能为 $0$ 或 $1$ 的优秀性质，我们考虑模拟最短路中的 $\mathrm{bfs}$：大概思路是先一直贪心走 $0$ 边并对没访问过的点进行更新，再对刚刚所有更新的点走一次 $1$ 边并对没访问过的点进行更新，再重复上述过程。

注意到一个点的 $0$ 边只有一条，所以走 $0$ 边时如果走到的点已经被更新了，那么它往后走 $0$ 边的点也肯定被更新了，就无需继续更新。所以走 $0$ 边的部分我们直接暴力更新即可。总时间复杂度 $O(n)$。

而对于每一个要向外更新的点，我们需要找到它的 $1$ 边中所有未被更新的点。注意到每个点向外连的 $1$ 边是一段区间，所以我们用并查集维护即可。总时间复杂度 $O(n\cdot \alpha (n))$。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 10000010
#define re register

using namespace std;

namespace modular
{
	int mod;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

int n,num,b,d[N],nxt[N];
int fa[N],tor[N];
bool flag;

int find(int x)
{
	return x==fa[x]?x:(fa[x]=find(fa[x]));
}

inline void merge(int x,int y)
{
	int a=find(x),b=find(y);
	fa[b]=a,tor[a]=max(tor[a],tor[b]);
}

inline void change(int i)
{
	if(i-1>=0&&d[i-1]) merge(i-1,i);
	if(i+1<n&&d[i+1]) merge(i,i+1);
}

queue<int>q[2];

void update(int u)
{
	int now=u;
	do
	{
		d[now]=num;
		change(now);
		q[flag^1].push(now);
		now=nxt[now];
	}while(!d[now]);
}

void work(int l,int r)
{
	for(re int i=l;i<=r;i++)
	{
		if(d[i])
		{
			int rt=find(i);
			i=tor[rt];
			continue;
		}
		d[i]=num;
		update(i);
	}
}

int main()
{
	mod=n=read(),b=read();
	if(n<b)
	{
		puts("1");
		return 0;
	}
	for(re int i=0;i<n;i++) fa[i]=tor[i]=i;
	for(re int i=0;i<n;i++) nxt[i]=1ll*i*b%n;
	num=1,flag=0;
	work(1,b-1);
	while(!d[0])
	{
		num++,flag^=1;
		while(!q[flag].empty())
		{
			int u=q[flag].front();
			q[flag].pop();
			int l=add(nxt[u],1),r=add(nxt[u],b-1);
			if(l<=r) work(l,r);
			else work(l,n-1),work(0,r);
		}
	}
	printf("%d\n",d[0]);
	return 0;
}
/*
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*/