【XSY3921】简单的数据结构题（多项式，拉格朗日插值，线段树）

题面

简单的数据结构题

题解

直接考虑我们要计算的式子。为了方便，我们先设 $l=1,r=n$。

$$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^n{a}_i^k\prod _{j\ne i}\frac{1-a_i{a}_j}{a_i-a_j}\\ =& \sum _{i=1}^n{a}_i^k\left(\prod _{j\ne i}\frac{1}{a_i-a_j}\right)\left(\sum _{l=0}^{n-1}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{1\le j_1<j_2<\cdots <j_l\le n}{j_1,j_2,\cdots ,j_l\ne i}}(-a_i{a}_{j_1})(-a_i{a}_{j_2})\cdots (-a_i{a}_{j_l})\right)\\ =& \sum _{i=1}^n{a}_i^k\left(\prod _{j\ne i}\frac{1}{a_i-a_j}\right)\left(\sum _{l=0}^{n-1}{a}_i^l[x^{n-1-l}]\left(\prod _{j\ne i}(x-a_j)\right)\right)\\ =& \sum _{l=0}^{n-1}[x^{n-1-1}]\left(\sum _{i=1}^n{a}_i^{k+l}\prod _{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}\right)\end{array}$$

发现 $\sum _{i=1}^n{a}_i^{k+l}\prod _{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}$ 是拉格朗日插值的形式。

设 $f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i^{k+l}\prod _{j\ne i}\frac{x-a_j}{a_i-a_j}$，那么 $f(x)$ 是恰好经过 $(a_1,a_1^{k+l}),(a_2,a_2^{k+l}),\cdots ,(a_n,a_n^{k+l})$ 这 $n$ 个点的小于等于 $n-1$ 次的唯一的多项式。注意，满足这个条件的多项式是唯一的，即 $f(x)$。

考虑构造出 $f(x)$：

首先注意到 $g(x)=x^{k+l}$ 肯定是经过这 $n$ 个点的，但它不一定小于等于 $n-1$ 次。

然后注意到对于多项式取模 $A(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}B(x)=C(x)$ 来说（其中 $A(x),B(x),C(x)$ 均为多项式），若有一 $x_0$ 满足 $B(x_0)=0$，则 $C(x_0)=A(x_0)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}B(x_0)=A(x_0)$。也就是在多项式取模中，若除数是 $0$，则商也是 $0$，余数和被除数相同。

那么我们设 $h(x)=g(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)=x^{k+l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$。显然，当 $x=a_i$ 时，模数是 $0$，有 $h(a_i)=g(a_i)=a_i^{k+l}$。

所以 $h(x)$ 也是满足 “恰好经过 $(a_1,a_1^{k+l}),(a_2,a_2^{k+l}),\cdots ,(a_n,a_n^{k+l})$ 这 $n$ 个点的小于等于 $n-1$ 次” 的多项式，而满足这个条件的多项式又是唯一的，所以 $h(x)=f(x)$。

所以原式转化为：

$$=\sum _{l=0}^{n-1}[x^{n-l-1}]\left(x^{k+l}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)\right)$$

注意到 $k$ 很小，而 $l\le n-1$，所以 $k+l\ge n$ 的情况不多，分类讨论即可：

偷一张 solution 的图

（图片最后一行最后应该是 “$=(-1{)}^{n-1}(a_1+a_2+\cdots +a_n)a_1{a}_2\cdots a_n$”）

于是只需要维护 $\sum _i{a}_i$、$\prod _i{a}_i$ 和 $\sum _i\prod _{j\ne i}{a}_j$，在区间乘的操作下用线段树简单维护即可。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>

#define N 300010

using namespace std;

namespace modular
{
	const int mod=998244353;
	inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
	inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
	inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;

inline int poww(int a,int b)
{
	int ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

inline int read()
{
	int x=0,f=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-') f=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
		ch=getchar();
	}
	return x*f;
}

struct data
{
	int sum,prod,ans;
	data(){sum=ans=0,prod=1;}
	data(int a,int b,int c){sum=a,prod=b,ans=c;}
}t[N<<2],now;

data merge(data a,data b)
{
	data c;
	c.sum=add(a.sum,b.sum);
	c.prod=mul(a.prod,b.prod);
	c.ans=add(mul(a.prod,b.ans),mul(a.ans,b.prod));
	return c;
}

int n,m,a[N];
int lazy[N<<2];

void up(int k)
{
	t[k]=merge(t[k<<1],t[k<<1|1]);
}

void downn(int k,int l,int r,int val)
{
	int tmp=poww(val,r-l);
	t[k].sum=mul(t[k].sum,val);
	t[k].prod=mul(t[k].prod,mul(tmp,val));
	t[k].ans=mul(t[k].ans,tmp);
	lazy[k]=mul(lazy[k],val);
}

void down(int k,int l,int r,int mid)
{
	if(lazy[k]!=1)
	{
		downn(k<<1,l,mid,lazy[k]);
		downn(k<<1|1,mid+1,r,lazy[k]);
		lazy[k]=1;
	}
}

void build(int k,int l,int r)
{
	lazy[k]=1;
	if(l==r)
	{
		t[k]=data(a[l],a[l],1);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
	up(k);
}

void update(int k,int l,int r,int ql,int qr,int x)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
	{
		downn(k,l,r,x);
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	down(k,l,r,mid);
	if(ql<=mid) update(k<<1,l,mid,ql,qr,x);
	if(qr>mid) update(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr,x);
	up(k);
}

void query(int k,int l,int r,int ql,int qr)
{
	if(ql<=l&&r<=qr)
	{
		now=t[k];
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	down(k,l,r,mid);
	data ans;
	if(ql<=mid)
	{
		query(k<<1,l,mid,ql,qr);
		ans=now;
	}
	if(qr>mid)
	{
		query(k<<1|1,mid+1,r,ql,qr);
		ans=merge(ans,now);
	}
	now=ans;
}

int main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	build(1,1,n);
	while(m--)
	{
		int opt=read(),l=read(),r=read(),k=read();
		if(opt==1) update(1,1,n,l,r,k);
		else
		{
			int nn=r-l+1,ans=0;
			if(!((nn-k-1)&1)) ans++;
			if(k==1)
			{
				query(1,1,n,l,r);
				if(nn&1) ans=add(ans,now.prod);
				else ans=dec(ans,now.prod);
			}
			if(k==2)
			{
				query(1,1,n,l,r);
				if(nn&1) ans=dec(ans,now.ans);
				else ans=add(ans,now.ans);
				int tmp=mul(now.sum,now.prod);
				if(nn&1) ans=add(ans,tmp);
				else ans=dec(ans,tmp);
			}
			printf("%d\n",ans);
		}
	}
	return 0;
}
/*
3 3
1 2 3
2 1 2 0
1 1 3 5
2 1 2 0
*/