【XSY3905】字符串题（lyndon串，构造）

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题面

字符串题

题解

设所有长度不超过 $n$ 的串的集合为 $S$ 。

考虑找到一种方法，能够对一个 lyndon 串 $A$ ，直接求出 $A$ 的下一个 lyndon 串。方法如下：

先将 $A$ 不断复制，取出前 $n$ 位作为新的 $A$ ，即 $A\leftarrow AAA⋯$ 的前 $n$ 位。
如果 $A$ 的最后一位是 $^{'} a^{'} + m - 1$ ，即字符集中最大的字符，则将其删去，一直删除直到最后一位不为 $^{'} a^{'} + m - 1$ 。
将 $A$ 的最后一个字符变为这个字符在字符集中的后继。（其实 2、3 操作的实质是找到 1 操作后的 $A$ 在字典序中的下一个字符串。

设构造出的串为 $B$ 。证明这种方法的正确性，只需要证明 $B$ 是 lyndon 串，且 $B$ 是 $S$ 中字典序大于 $A$ 的最小的 lyndon 串。

先证 $B$ 为 lyndon 串：

根据构造方式，设 $A=a_1a_2⋯a_{|A|}$ 。显然可以发现 $B$ 为 $AA⋯Aa_1a_2⋯a_x(a_{x+1}+1)$ 的形式，其中 $1\leq x<|A|$ 。由于 $A$ 为 lyndon 串，所以对 $\forall 1<i≤|A|$ ，有 $a_ia_{i+1}\cdots a_{|A|}a_1a_2⋯a_{i−1}>a_1a_2⋯a_{|A|}$ 。

不难发现 $B$ 的循环移位中 $B$ 为其中的严格最小值，所以 $B$ 为 lyndon 串。
再证 $A, B$ 之间没有 $l y n d o n$ 串：

如果有一个 $S$ 中的串 $T$ 字典序在 $A, B$ 之间且为 lyndon 串，由构造方法可以知道 $A < T < A A A \dots$ 。

设 $T = A A \dots A T'$ ，其中 $T^{'}$ 的前 $∣ A ∣$ 位不等于 AA ，显然有 $T^{'} < A$ ，则以 $T^{'}$ 开头的循环移位小于 $T$ ，与 $T$ 是 lyndon 串矛盾。

由于大部分满足条件的 lyndon 串的长度均为 $n$ ，这个算法均摊复杂度为 $O (1)$ ，可以 $O (x)$ 通过此题。

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
 
#define S 35
#define N 200010
 
using namespace std;
 
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-') f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
 
struct Query
{
    int x,id;
}q[N];
 
bool operator < (Query a,Query b)
{
    return a.x<b.x;
}
 
int n,m,Q;
int len;
char s[S],Ans[N][S];
 
int main()
{
    n=read(),m=read(),Q=read();
    for(int i=1;i<=Q;i++)
        q[i].x=read(),q[i].id=i;
    sort(q+1,q+Q+1);
    len=1;
    s[0]='a';
    int tmp=1;
    while(tmp<=Q&&q[tmp].x==1)
    {
        for(int i=0;i<len;i++)
            Ans[q[tmp].id][i]=s[i];
        tmp++;
    }
    for(int i=2;i<=q[Q].x;i++)
    {
        int nowl=len;
        while(1)
        {
            for(int i=0;i<nowl&&len<n;i++)
                s[len++]=s[i];
            if(len==n) break;
        }
        while(len>0&&s[len-1]=='a'+m-1) len--;
        s[len-1]++;
        while(tmp<=Q&&q[tmp].x==i)
        {
            for(int i=0;i<len;i++)
                Ans[q[tmp].id][i]=s[i];
            tmp++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=Q;i++)
    {
        for(int j=0;Ans[i][j];j++)
            putchar(Ans[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}