unity3D数学基础-坐标系、向量、矩阵

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坐标系

左右手坐标系

1. 左手坐标系：伸开左手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，其他三个手指指向Z轴正方向。
2. 右手坐标系：伸开右手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，其他三个手指指向Z轴正方向。
   

3D笛卡尔坐标系：右手坐标系
OpenGL：右手坐标系
Direct3D：左手坐标系
Unity3D：左手坐标系（世界坐标系），即+x, +y, +z分别指向右方，上方和前方。​​​​

各种坐标空间(坐标系)

部分空间种类

1. 模型空间

• unity约定：使用的左手坐标系，XYZ分别对应着右上前。
• 模型空间的原点和坐标轴通常由美术人员在建模软件里确定好的。当导入到unity中，我们可以在顶点着色器中访问到模型的顶点信息，其中包含了每个顶点的坐标，这些坐标都是相对于模型空间中的原点（通常位于模型的重心）定义的。
• 检视视图中显示的为localPosition的值。
• transform.localPosition（本地坐标）可以获得物体在父物体的局部坐标系中的位置点。

2. 世界空间

• unity约定：使用左手坐标系，但它的XYZ轴是固定不变的。
• transform.position来获取游戏对象的世界坐标。

3. 观察空间

• 右手坐标系，这是符合OpenGL传统的，再这样的观察空间中，摄像机的正前方向指的是-z轴方向。
• unity约定：摄像机位于原点，+x轴指向右方，+y轴指向上分，而+z轴指向的是摄像机的后方。

4. 裁切空间

• 目标是能够方便地对渲染图元进行裁剪：完全位于这块空间内部的图元将会被保留，完全位于这块空间外部的图元将会被剔除，而与这块空间边界相交的图元就会被裁剪。
• 这块空间是由视椎体来决定。

5. 屏幕空间

• 左手坐标系
• 以像素来定义的，屏幕的左下角为（0,0），右上角为（Screen.width, Screen.height），z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。
• 屏幕空间是一个二维空间。
• 鼠标位置坐标属于屏幕坐标，通过Input.mousePosition可以获得该位置的坐标。
• 手指触摸屏幕也为屏幕坐标，Input.GetTouch(0).position可以获得单个手指触摸屏幕时手指的坐标。

6. 视口空间

• 将Game视图的屏幕坐标系单位化
• 左下角（0,0），右上角（1,1）。z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。

相互空间转换

1. shader中空间转换
   

• 模型变换：顶点变换的第一步就是将顶点从模型空间变换到世界空间中。这个变换通常叫做模型变换。注意这里的变换顺序是不能互换的，即先进行缩放，然后进行旋转，最后是平移，然后我们可以构建出模型变换的变换矩阵(因为矩阵不满足交换律，所以不要随便调换变换顺序)
• 观察变换：顶点变换的第二步，就是将顶点坐标从世界空间变换到观察空间中，这个变换通常叫做观察变换。一种方法是计算观察空间中的三个坐标轴在世界空间下的表示，然后构建出观察空间变换到世界空间的变换矩阵，再对该矩阵求逆得到从世界空间变换到观察空间的变换矩阵。另一种方法是想象平移整个观察空间，让摄像机原点位于世界坐标的原点，坐标轴与世界空间中的坐标轴重合即可
• 投影变换：顶点变换的第三步，就是将顶点坐标从观察空间变换到裁切空间(也被称为齐次裁剪空间)中，这个变换通常叫做投影变换，这个用于变换的矩阵叫做裁剪矩阵，也被称为投影矩阵。
  • 目的：首先是为投影做准备，真正的投影发生在后面的齐次除法过程中，而经过投影矩阵变换后，顶点的w分量将会有特殊的意义；其次是对x,y,z分量进行缩放。
  • 视椎体指的是空间中的一块区域，这块区域决定了摄像机可以看到的空间。视椎体由两种类型，这涉及两种投影：一种是正交投影，一种是透视投影。
  • 投影：可以理解成一个空间的降维，例如从四维空间投影到三维空间，而投影矩阵实际上并不会真正的进行投影，它会为真正的投影做准备工作。真正的投影会在屏幕映射时发生，通过齐次除法来得到二维坐标。
• 屏幕映射：就是把顶点从裁剪空间投影到屏幕空间中，来生成对应的2D坐标。在unity中，从裁剪空间到屏幕空间的转换一般是底层帮我们完成的，我们顶点着色器只需要把顶点转换到裁剪空间即可。最后由此通过齐次除法和映射到屏幕。——分为两个步骤：首先进行标准齐次除法，也被称为透视除法。就是用齐次坐标系的w分量去除以x，y，z分量；经过齐次除法后，透视投影和正交投影的视椎体都变换到一个相同的立方体内。接下来可以根据 变换后的x和y坐标来映射输出窗口的对应像素坐标。

2. unity中C#相关API

• Transform.forward, Transform.right, Transform.up：当前物体的物体坐标系的z轴，x轴，y轴在世界坐标系上的指向。
• Transform.TransformPoint(Vector3 position) :将一个坐标点从局部坐标系转换到全局坐标系。
• Transform.InverseTransformPoint(Vector3 position)：将坐标点从全局坐标系转换到局部坐标系。
• Transform.TransformDirection(Vector3 direction):将一个方向从局部坐标系转换到全局坐标系。
• Transform.InverseTransformDirection(Vector3 direction)：将一个方向从全局坐标系转换到局部坐标系。
• Transform.TransformVector(Vector3 vector):将一个向量从局部坐标系转换到全局坐标系。
• Transform.InverseTransformVector(Vector3 vector):将一个向量从全局坐标系转换到局部坐标系。
• Camera.ScreenToWorldPoint(Vector3 position): 将屏幕坐标转换为全局坐标。
• Camera.WorldToScreenPoint(Vector3 position):将全局坐标转换为屏幕坐标。
• Camera.ScreenToViewportPoint(Vector3 position)：将屏幕坐标转换为视口坐标。
• Camera.ViewportToScreenPoint(Vector3 position)：将视口坐标转换为屏幕坐标。
• Camera.WorldToViewportPoint(Vector3 position)：将全局坐标转换为视口坐标。
• Camera.ViewportToWorldPoint(Vector3 position)：将视口坐标转换为全局坐标。

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向量

认识向量

• 在数学中，向量（也称为矢量），是指具有大小和方向的量；书写向量时，水平书写的向量叫做行向量
  $$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$
  垂直书写的向量叫做列向量。
  $$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$
• 向量的大小就是向量的长度，也叫做模。向量的方向描述了空间中向量的指向；向量中的数表达了向量在每个维度上的有向位移。
• 点中的数表示了一个位置，它没有大小、方向的概念；点只有位置，适量只有方向和大小，任何一个点都可以表示成一个从原点出发的矢量。

向量运算

特殊向量

1. 零向量：大小为0，没有方向的向量，并且它不可以被归一化。
2. 负向量：向量变负,将得到一个和原向量方向相反、大小相等的向量。
3. 单位向量：也叫做标准化向量，就是大小为1的向量；对任意的非零向量，我们都可以计算出它的单位向量，即将其归一化(normalization)。单位向量的表示
   $$\hat{\mathbf{a}}=\frac{\mathbf{a}}{\left|\begin{array}{c}\mathbf{a}\end{array}\right|}$$
4. 在Unity中，可以使用Vector3.Normalize来归一化向量。使用Vector3.normalized来获得归一化后的单位向量；Vector3.Normalize改变当前向量，Vector3.normalized当前向量是不改变的并且返回一个新的规范化的向量。

向量的长度

1. 即向量的大小，或者向量的模。
2. 向量的大小就是向量各分量平方和的平方根
3. 在Unity中，可以通过Vector3.magnitude计算向量的长度。Vector3.sqrMagnitude则返回向量长度的平方；Vector3.Distance(A,B)可以计算2个点A,B之间的距离，即返回向量AB或向量BA的长度。

向量与标量的乘/除法

1. 向量与标量的乘法，即将向量的每个分量分别与标量相乘。
2. 向量与非零标量的除法，即乘以该标量的倒数。

向量的加/减法

1. 只有在两个向量的维度相同时，才可以相加或相减。
2. 向量的加法和减法，即将向量的各个分量相加或相减。
3. 向量的加法满足交换律和结合律，向量的减法仅满足结合律。
4. 几何意义：对于加法，我们可以把矢量a的头连接到矢量b的尾，然后画一条从a的尾到b的头的矢量，来得到a和b相加后的矢量。减法类似
5. 公式：$$\begin{gathered} \vec{a}+\vec{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) \\ \vec{a}-\vec{b}=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) \end{gathered}$$

向量的点积

1. 也叫做向量的内积。表示如下：其中点不可以省略
   $$\vec{a}\cdot \vec{b}$$
2. 两种计算公式如下：
   $$\begin{gathered} \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta \\ \vec{a}\cdot \vec{b}=(a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z) \end{gathered}$$
3. 点积满足交换律。
4. 向量点积的结果是一个标量
5. 几何意义：
   • 点乘结果描述了两个向量的“相似”程度，点乘结果越大，两向量越相近
   • 投影：向量b在向量a上的投影的长度可以表示为
     $$\left|\begin{array}{c}\vec{b}\to \vec{a}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{c}\vec{b}\end{array}\right|\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\left|\begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\right|}$$
6. 重要性质：
   • 点积可结合标量乘法
     $$(ka$$