2025Unity中的核心数学工具（二）向量详解（穿插Unity实战相关案例）

原创于 2025-10-09 15:00:23 发布 · 1.2k 阅读

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一、向量

1.标量

含义：有数值大小，没有方向

2.向量

含义：有数值大小，有方向的矢量

种类：一维，二维，三维

注意：向量在空间中有无数条，并且可以随意移动

3.向量的计算

A点：(Xa,Ya,Za) B点：(Xb,Yb,Zb)

从A指向B的向量为AB向量：B-A = (Xb-Xa, Yb-Ya, Zb-Za)

从B指向A的向量为BA向量：A-B = (Xa-Xb, Ya-Yb, Za-Zb)

计算方法：终点减起点

4.零向量

写法：(0,0,0)

注意：零向量是唯一一个大小为0的向量

5.负向量

写法：(x,y,z)的负向量为(-x,-y,-z)

注意：

（1）负向量和原向量大小相等

（2）负向量和原向量方向相反

6.向量的模长

含义：是向量的长度（向量的模长就是两个点的距离）

模长公式：模长= √x² + y² + z

7.单位向量

含义：模长为1的向量

注意：任意一个向量经过归一化就是单位向量

归一化公式：

（1）模长 = √x² + y² + z²

（2）单位向量 = (x/模长, y/模长, z/模长)

二、向量练习题

1.Unity中判断两点之间距离有几种方式？

（1）使用 Vector3.Distance () 方法

这是 Unity 提供的专门用于计算两点距离的 API
语法：Vector3.Distance(点1的位置, 点2的位置)
代码示例：print(Vector3.Distance(A.position, B.position));

（2）计算两点向量差的模长（magnitude）

先计算两点之间的向量差（点 B - 点 A 或点 A - 点 B）
再通过向量的 magnitude 属性获取该向量的长度（即两点距离）

2.计算向量（3,4,5）的模长（手写）

3.计算向量 (3,-4) 的单位向量（手写）

三、向量加减乘除

1.向量加法

（1）计算公式

（2）计算意义

【1】两个位置相加没有意义

【2】两个向量相加得到一个新向量

口诀：向量相加，首尾相连

【3】位置加向量得到一个新位置

口诀：位置和向量相加=平移位置

2.向量减法

（1）计算公式

（2）意义

【1】两个位置相减得到一个新向量

口诀：两点决定一向量终点 - 起点

【2】两个向量相减得到一个新向量

口诀：向量相减，头连头，尾指尾 A - B = B头指A头

【3】位置减向量相当于加负向量

口诀：位置减向量 = 平移位置

【4】向量减位置没有任何意义

3.向量乘除法

（1）公式

（2）意义

四、向量基础运算练习题

1.题目

用向量相关知识，实现摄像机跟随(摄像机不设置为对象子物体)

摄像机一直在物体的后方4米，向上偏7米的位置

2.实现

（1）效果

摄像机跟随

（2）代码

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class test3CameraMove : MonoBehaviour
{
    public float zOffect = 4;
    public float yOffect = 7;
    public Transform target;
    void Start()
    {

    }

    void LateUpdate()
    {
        this.transform.position = target.position + -target.forward * zOffect + target.up * yOffect;

        this.transform.LookAt(target);
    }
}

五、向量点乘

1.点乘计算公式

2.点乘的几何意义

3.点乘公式推导

4.代码演示

（1）补充函数

【1】画线段（前两个参数分别是 起点终点）

Debug.DrawLine(this.transform.position, this.transform.position + this.transform.forward, Color.red);

【2】画射线（前两个参数分别是 起点方向）

Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.white);

（2）通过点乘判断对象方位

float dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, target.position - this.transform.position);
if( dotResult >= 0 )
{
    print("它在我前方");
}
else
{
    print("它在我后方");
}

（3）通过点乘推导公式算出夹角

  //1.用单位向量算出点乘结果
  dotResult = Vector3.Dot(this.transform.forward, (target.position - this.transform.position).normalized);
  //2.用反三角函数得出角度
  print("角度-" + Mathf.Acos(dotResult) * Mathf.Rad2Deg);

  //Vector3中提供了 得到两个向量之间夹角的方法 
  print("角度2-" + Vector3.Angle(this.transform.forward, target.position - this.transform.position));

六、向量点乘练习题

1.题目

当一个物体B在物体A前方45度角范围内，并且离A只有5米距离

时，在控制台打印“发现入侵者”

2.实现

（1）演示

检测敌人

（2）代码实现

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class test4Check : MonoBehaviour
{
    public Transform Target;

    private void Update()
    {
        Debug.DrawLine(transform.position, Target.position, Color.red);
        Debug.Log("角度" + Vector3.Angle(this.transform.forward, Target.transform.position - this.transform.position));
        if (Vector3.Distance(this.transform.position, Target.transform.position) <= 5 &&
            Vector3.Angle(this.transform.forward, Target.transform.position - this.transform.position) <= 22.5f)
        {
            print("发现入侵者");
        }
    }
}

七、向量叉乘

1.叉乘计算公式

向量 x 向量 = 向量

向量A (Xa,Ya,Za)

向量B (Xb,Yb,Zb)

A x B = (X,Y,Z)

X = YaZb - ZaYb

Y = ZaXb - XaZb

Z = XaYb - YaXb

2.叉乘的几何意义

A x B 得到的向量同时垂直A和B

A x B 向量垂直于A和B组成的平面

A x B = -(B x A)

1.得到一个平面的法向量

Vector3.Cross(A.position, B.position)

2.得到两个向量之间的左右位置关系

//假设向量 A和B 都在 XZ平面上
//向量A 叉乘 向量 B
//y大于0 证明 B在A右侧
//y小于0 证明 B在A左侧



Vector3 C = Vector3.Cross(A.position, B.position);
if( C.y > 0)
{
    print("B在A的右侧");
}
else
{
    print("B在A的左侧");
}

八、向量叉乘的习题

1.题目

（1）判断一个物体B位置再另一个物体A的位置的左上，左下，右上，右下哪个方位

（2）当一个物体B在物体A左前方20度角或右前方30度范围内，并且离A只有5米距离时，在控制台打印“发现入侵者

2.实现

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class FindEnemy2 : MonoBehaviour
{
    public Transform A;
    public Transform B;
    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    {
        
    }

    private float dotResult;
    private Vector3 crossResult;
    // Update is called once per frame
    void Update()
    {
        //第一题
        dotResult = Vector3.Dot(A.forward, B.position - A.position);
        crossResult = Vector3.Cross(A.forward, B.position - A.position);
        //判断前后
        if (dotResult >= 0 )
        {
            //右侧
            if(crossResult.y >= 0)
            {
                print("右前");
            }
            //左侧
            else
            {
                print("左前");
            }
        }
        else
        {
            //右侧
            if (crossResult.y >= 0)
            {
                print("右后");
            }
            //左侧
            else
            {
                print("左后");
            }
        }

        //第二题
        if( Vector3.Distance(A.position, B.position) <= 5 )
        {
            if( crossResult.y >= 0 && Vector3.Angle(A.forward, B.position - A.position) <= 30 ||
                crossResult.y < 0 && Vector3.Angle(A.forward, B.position - A.position) <= 20)
            {
                print("发现入侵者");
            }
        }
    }
}

九、向量插值运算

1.线性插值

（1）语法
Vector3.Lerp(start, end, t);

 //1.先快后慢 每帧改变start位置 位置无限接近 但不会得到end位置
 A.position = Vector3.Lerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);

 //2.匀速 每帧改变时间  当t>=1时 得到结果
 //这种匀速移动 当time>=1时  我改变了 目标位置后  它会直接瞬移到我们的目标位置
 if(nowTarget != target.position)
 {
     nowTarget = target.position;
     time = 0;
     startPos = B.position;
 }
 time += Time.deltaTime;
 B.position = Vector3.Lerp(startPos, nowTarget, time);
 #endregion

（2）意义

对两个点进行插值计算 t的取值范围为0~1

（3）公式

公式：result = start + (end - start) * t

（4）应用

1.每帧改变start的值（先快后慢）

2.每帧改变t的值（匀速）

2.球形插值

（1）语法

Vector3.Slerp(start, end, t);

C.position = Vector3.Slerp(Vector3.right * 10, Vector3.left * 10 + Vector3.up*0.1f, time*0.01f);

（2）意义

对两个向量进行插值计算 t的取值范围为0~1

（3）区别

十、向量插值练习题

1.题目

2.实现

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class CameraMove : MonoBehaviour
{
    public float zOffect = 4;
    public float yOffect = 7;
    public Transform target;

    private Vector3 targetPos;
    public float moveSpeed;
    private Vector3 startPos;
    private float time;
    // Start is called before the first frame update
    void Start()
    {
        
    }

    void LateUpdate()
    {
        //先快后慢的移动
        //if(targetPos != target.position + -target.forward * zOffect + target.up * yOffect)
        //{
        //    targetPos = target.position + -target.forward * zOffect + target.up * yOffect;
        //}
        ////摄像机的位置 等于目标的位置 进行向量偏移
        ////先朝目标对象的 面朝向的反方向平移4米 再朝目标的头顶位置 平移7米
        //this.transform.position = Vector3.Lerp(this.transform.position, targetPos, Time.deltaTime*moveSpeed);

        //匀速移动
        if (targetPos != target.position + -target.forward * zOffect + target.up * yOffect)
        {
            targetPos = target.position + -target.forward * zOffect + target.up * yOffect;
            startPos = this.transform.position;
            time = 0;
        }
        time += Time.deltaTime;
        this.transform.position = Vector3.Lerp(startPos, targetPos, time* moveSpeed);

        this.transform.LookAt(target);
    }
}