Unity之3D数学基础

第一章：3D数学介绍

1. 介绍

3D(three dimensions)，立体空间。

3D数学

研究在3D几何世界中的数学问题，被广泛的应用于使用计算机来模拟3D世界的领域，比如图形学、游戏、虚拟现实和动画等。

为什么要学习3D数学？

掌握了3D数学的知识之后，对我们将来学习图形学、游戏制作都有很大的帮助。

2. 1D（数轴）

1D：关于计数和度量的数学。

数学上，数轴是个一维的图，整数作为特殊的点均匀地分布在一条线上。数轴是一条规定了原点、方向和单位长度的直线。

3. 2D（笛卡尔坐标系）

2D：关于平面的数学。

数学上，相交的两条直线可以确定一个唯一的平面。相交于原点的两条数轴，构成了平面放射坐标系。

如果两条数轴上的度量单位相等，则称此放射坐标系为笛卡尔坐标系。

 数轴互相垂直的笛卡尔坐标系，称为笛卡尔直角坐标系，否则称为笛卡尔斜角坐标系。

 在2D笛卡尔坐标系中，我们用（x,y）来表示一个点，称之为坐标。

坐标的每个分量都表明了该点与原点之间的距离和方位，每个分量都是到相应轴的有符号距离。

4. 3D（空间直角坐标系）

3D：关于3D空间的数学。

从2D扩展到3D：相对于2D笛卡尔坐标系，我们需要3个轴来表示三维坐标系，一般叫做空间直角坐标系。

第3个轴一般被称为Z轴，一般情况下，3个轴互相垂直。

 任意2个轴可以组成一个平面，我们一般称为XY平面、XZ平面、YZ平面，每个平面又与另一个轴相垂直。我们可以认为这3个平面是3个2D笛卡尔空间。

在3D中，我们用（x,y,z）来表示一个点，坐标的每个分量分别代表了该点到yz、xz、xy平面的有符号距离。

5. 左手坐标系与右手坐标系

z轴方向的确定有2种方式：左手坐标系和右手坐标系。

左手坐标系：伸开左手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。

右手坐标系：伸开右手，大拇指指向X轴正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。

3D笛卡尔坐标系：是右手坐标系。

OpenGL：右手坐标系。

Direct3D：左手坐标系。

Unity3D：左手坐标系（世界坐标系），即+x，+y，+z分别指向右方、上方和前方。

练习1：

 答：OPenGL坐标值：（2，3，3）；Unity3D坐标值：（2，3，-3）

练习2：

答： 右手坐标系

第二章：Unity中的几种坐标系

1. 介绍

在不同的情况下使用不同的坐标系更加方便，所以在Unity中有多种坐标系：

（1）全局坐标系 World Coordinate System

（2）局部坐标系 Local Coordinate System

（3）屏幕坐标系 Screen Space

（4）视口坐标系 ViewPort Space

2. 全局坐标系

全局坐标系是用于描述场景内所有物体位置的方向的基准，也称为世界坐标系。

在Unity中创建的物体都是以全局坐标系中的坐标原点（0,0,0），来确定各自的位置的。

可以使用transform.position来获取游戏对象的世界坐标。

3. 局部坐标系

局部坐标系也称为模型坐标系或物体坐标系。

每个物体都有自身独立的物体坐标系，当物体移动或改变方向时，和该物体相关联的坐标系将随之移动或改变方向。

模型Mesh保存的顶点坐标均为局部坐标系下的坐标。

transform.localPosition（本地坐标）可以获得物体在父物体的局部坐标系中的位置点。

父子关系，子物体以父物体的坐标点为自身的坐标原点。

如果该游戏物体没有父物体，那么transform.localPosition获得的依然是该物体在全局坐标系中的坐标。

如果该物体有父物体，则获得的是在其父物体的局部坐标系下的坐标。

Inspector视图中显示的是localPosition的值。

4. 屏幕坐标系

屏幕坐标系是建立在屏幕上的二维坐标系。

以像素来定义的，屏幕的左下角为(0,0)，右上角为(Screen.width,Screen.height)，z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。

鼠标位置坐标属于屏幕坐标，通过Input.mousePosition可以获得该位置的坐标。

手指触摸屏幕也为屏幕坐标，Input.GetTouch(0).position可以获得单个手指触摸屏幕时手指的坐标。

5. 视口坐标系

视口坐标系是将Game视图的屏幕坐标系单位化，左下角（0,0），右上角（1,1）。z轴的坐标是相机的世界坐标中z轴坐标的负值。

6. 坐标系之间的关联与相互转换

（1）全局坐标系和局部坐标系

关联：

transform.Translate(translation:Vector3，relativeTo:Space=Space.Self);

沿着translation的方向移动 |translation| 的距离，其结果将应用到relativeTo坐标系中。如果relativeTo 为空，则默认为局部坐标系。

转换：

Transform.TransformPoint(Vector3 position): 将一个坐标点从局部坐标系转换到全局坐标系；

Transform.InverseTransformPoint(Vector3 position): 将坐标点从全局坐标系转换到局部坐标系；

Transform.TransformDirection(Vector3 direction): 将一个方向从局部坐标系转换到全局坐标系；

Transform.InverseTransformDirection(Vector3 direction): 将一个向量从局部坐标系转换到全局坐标系；

Transform.InverseTransformVector(Vector3 vector): 将一个向量从全局坐标系转换到局部坐标系。

其他：

Transform.forward, Transform.right, Transform.up: 当前物体的坐标系的z轴、x轴、y轴在世界坐标系上的指向；

Vector3.forward：（0,0,1）的缩写。在transform.Translate()中使用时，如果不表明坐标系，则为物体的局部坐标，即物体自身的正前方；

Vector3.right：（1,0,0）的缩写；

Vector3.up：（0,1,0）的缩写。

（2）屏幕坐标系与全局坐标系

转换：

Camera.ScreenToWorldPoint(Vector3 position):  将屏幕坐标转换为全局坐标；

Camera.WorldToScreenPoint(Vector3 position): 将全局坐标转换为屏幕坐标；

Input.mousePosition: 获得鼠标在屏幕坐标系中的坐标。

（3）屏幕坐标系与视口坐标系

转换：

Camera.ScreenToViewportPoint(Vector3 position)：将屏幕坐标转换为视口坐标；

Camera.ViewportToScreenPoint(Vector3 position)：