51nod 1244 莫比乌斯函数之和【杜教筛】

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本文介绍了一种基于分治和记忆化搜索的杜教筛算法，该算法用于求解积性函数的前缀和问题，时间复杂度为O(n^(2/3))。通过实例演示了如何使用该算法，并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解题思路：

像这种求积性函数前缀和的题，可以用杜教筛来做，时间复杂度为 $O(n^{\frac{2}{3}})$ ，是一种基于分治和记忆化搜索的方法。
具体可见：http://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/50500009
注意一定要把求得的答案记忆化才能保证复杂度，本人TLE了半天不知为何。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;

const int N=6000000,INF=0x3f3f3f3f;
int pn,pri[N],mu[N],sum[N],f1[N],f2[N];
ll l,r,n;

void sieve()
{
    memset(mu,INF,sizeof(mu));
    sum[1]=mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(mu[i]==INF)pri[++pn]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=pn&&1ll*i*pri[j]<N;j++)
        {
            int k=i*pri[j];
            if(i%pri[j]==0)
            {
                mu[k]=0;
                break;
            }
            mu[k]=-mu[i];
        }
        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    }
}

int &find(ll x)
{
    if(x<N)return f1[x];
    return f2[n/x];
}

int M(ll x)
{
    if(x<N)return sum[x];
    int &res=find(x);
    if(res!=INF)return res;
    res=1;
    for(ll i=2,j;i<=x;i=j+1)
    {
        j=x/(x/i);
        res-=(j-i+1)*M(x/i);
    }
    return res;
}

int solve(ll x)
{
    memset(f1,INF,sizeof(f1));
    memset(f2,INF,sizeof(f2));
    n=x;
    return M(x);
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    sieve();
    scanf("%lld%lld",&l,&r);l--;
    cout<<solve(r)-solve(l)<<'\n';
    return 0;
}