[51NOD1244]莫比乌斯函数之和

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#OI #数论 #杜教筛 #51NOD

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本文介绍了一种利用杜教筛算法解决特定数学问题的方法。针对给定的整数范围，文章详细阐述了如何高效地计算莫比乌斯函数的前缀和，并提供了具体的代码实现。通过对小于特定阈值的数进行预处理，结合分块计算策略，实现了良好的时间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定 $a$ 和 $b$ ，试求出

\sum i = a b μ (i)

$\sum_{i=a}^b\mu(i)$

$2\le a\le b\le10^{10}$

题目分析

杜教筛裸题。
令 $S(n)=\sum_{i=1}^n\mu(i)$ 。用恒等函数 $\mathbb1$ 卷上 $\mu$ 函数得到单位函数 $\epsilon$ ，于是有：

S (n) = 1 - \sum i = 2 n S (⌊ n i ⌋)

$S(n)=1-\sum_{i=2}^nS\left(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\right)$
只需要计算形如

⌊nx⌋ $\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$ 的数的

S $S$ 值。对小于等于

n23 $n^\frac{2}{3}$ 的数使用线性筛预处理，对于其它的数使用分块来计算。
积分算得时间复杂度：

O ⎛ ⎝ ⎜ \int n 1 3 x = 1 n x - - \sqrt d x ⎞ ⎠ ⎟ = O (n 2 3)

$\mathrm O\left(\int_{x=1}^{n^\frac13}\sqrt\frac{n}{x}dx\right)=\mathrm O(n^\frac23)$
更多积性函数前缀和相关请参考2016年任之洲的国家集训队论文《积性函数求和的几种方法》以及唐老师的博客。

代码实现

第一道杜教筛，写得及其丑。
关于那个 $S\left(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\right)$ 怎么存，对于 $\lfloor\frac{n}{x}\rfloor$ 开一个表直接存，对于 $\lfloor\frac{n}{x}\rfloor\gt\sqrt n$ 另外开一个表存在这个位置。

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int L=4641600;
const int N=100050;
const int M=N<<1;

int mu[L],sum[L],pri[L],f[L];
bool mark[L];
LL S[2][N];
LL num[M];
int l,s,cnt;
LL a,b;

int id(LL x,LL n){return x>s?n/x:x;}

void pre(LL n)
{
    memset(mark,0,sizeof mark),memset(pri,0,sizeof pri);
    l=pow(n,2.0/3.0),s=sqrt(n);
    mark[1]=1,f[1]=1,mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=l;++i)
    {
        if (!mark[i]) mark[i]=1,f[pri[++pri[0]]=i]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,k;j<=pri[0];++j)
        {
            if (1ll*pri[j]*i>l) break;
            mark[k=pri[j]*i]=1,f[k]=pri[j];
            mu[k]=f[k]==f[i]?0:-mu[i];
            if (!(i%pri[j])) break;
        }
    }
    for (int i=1;i<=l;++i) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
    cnt=0;
    for (LL st=1,en,x;st<=n;st=en) num[++cnt]=x=n/st,en=n/x+1;
}

LL sieve(LL n)
{
    pre(n);
    for (int sign,idn,i=cnt;i>=1;--i)
    {
        idn=id(num[i],n),sign=idn==num[i];
        if (num[i]<=l)
        {
            S[sign][idn]=sum[num[i]];
            continue;
        }
        LL res=1;
        for (LL st=2,en,x;st<=num[i];st=en)
        {
            x=num[i]/st,en=num[i]/x+1;
            int idn_=id(x,n),sign_=idn_==x;
            res-=(en-st)*S[sign_][idn_];
        }
        S[sign][idn]=res;
    }
    return S[0][1];
}

int main()
{
    freopen("mobius.in","r",stdin),freopen("mobius.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    printf("%lld\n",sieve(b)-sieve(a-1));
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}