51nod1244 莫比乌斯函数和 (杜教筛)

最新推荐文章于 2020-09-17 10:50:44 发布

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本文详细介绍了杜教筛算法的基本原理及其应用。该算法通过数学变形和交换主体的方法，利用狄利克雷卷积性质来简化计算过程。文章还提供了具体的实现代码，包括预处理步骤和递归求解部分。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

求 $\sum_{i=1}^{n} \mu(i),n<=10^{10}$

杜教筛

有一篇文必须得转

author: skywalkert
original article: http://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/50500009
last update time : 2017-04-01

推一波式子 (下面的除法都是整除)
由 $\sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i}\mu(d)=1$ 可推
$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{\frac n i} \mu(j) (等价于枚举a=ij，给a累加\mu(j))$
分出i=1的情况，
$\sum_{i=1}^{n}\mu(i)+\sum_{i=2}^{n} \sum_{j=1}^{\frac n i} \mu(j)=1$
也就是
$Ans(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)=-\sum_{i=2}^{n}Ans(\frac n i)+1$
其中 $\frac n i$ 分块。

下面分析这样递归求解的时间复杂度。
设 $T(n)$ 为求解 $Ans(n)$ 的复杂度，
$T(n)=\sqrt{n}(分块)+\sum_{i=1}^{\sqrt n} T(i)+T(\frac n i) （求解子问题）$
$T(n)=\sqrt n + \sum_{i=1}^{\sqrt n} \sqrt i + \sqrt {\frac n i}$ （只展开一层，考虑最高次项）
又因为 $\sum_{i=1}^{\sqrt n} \sqrt i + \sqrt {\frac n i}=O(n^{\frac 3 4})$ ，所以总的时间复杂度就是 $O(n^{\frac 3 4})$

算过的不需要再算，用map存起来。不用会T比较多点。

还可以进行优化，可以先用线筛预处理出前k个的Ans，经推导k取 $n^{\frac 2 3}$ 时有最小复杂度 $O(n^{\frac 2 3})$ 。这样实际上不仅减少了理论复杂度，更大大缩减了hashmap的寻址时间。

核心思想是数学变形+交换主体+利用狄利克雷卷积性质

如果能通过狄利克雷卷积构造一个更好计算前缀和的函数，且用于卷积的另一个函数也易计算，则可以简化计算过程。

~~经试验，不加map或不预处理都会T！~~

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#define N 10000001ll
typedef long long ll;
using namespace std;
ll a,b,mu[N],ini;
map<ll,ll> h;
bool is[N];
int p[N];
void init(ll n) {
    ini=n=min(n,N-1);
    mu[1]=1;
    for (ll i=2; i<=n; i++) {
        if (is[i]==0) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (ll j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
            is[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j]) mu[i*p[j]]=-mu[i];
            else {
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
        }
        mu[i]+=mu[i-1];
    }
}
ll solve(ll x) {
    if (x<=ini) return mu[x];
    if (h.count(x)) return h[x];
    ll &k=h[x],ret=1,r;
    for (ll l=2; l<=x; l=r+1) {
        r=x/(x/l);
        ret-=(r-l+1)*solve(x/l);
    }
    return k=ret;
}
int main() {
    freopen("1244.in","r",stdin);
    cin>>a>>b;
    init(pow(b,2/(double)3));
    printf("%lld",solve(b)-solve(a-1));
}