【杜教筛】51Nod1244[莫比乌斯函数之和]题解

题目概述

求 $\sum_{i=1}^n \mu(i)$ 。

解题报告

杜教筛可以用来求积性函数的前缀和，具体想法是用另外一个函数卷待求函数，如下：

$$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}f({i\over d})g(d)=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{\lfloor{n\over d}\rfloor}f(i)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\lfloor{n\over i}\rfloor)\\ \Leftrightarrow g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n (f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor{n\over i}\rfloor)\\ \Leftrightarrow S(n)={\sum_{i=1}^n (f*g)(i)-\sum_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor{n\over i}\rfloor)\over g(1)}$$
我们发现这变成了一个递归的过程，由于 $i$ 从 $2$ 开始，所以如果我们能求出 $g$ 的前缀和，就变成了除法分块！

对于莫比乌斯函数，我们可以用常数函数 $1$ 卷 $\mu$ ，这样就变成了：

$$S(n)=\sum_{i=1}^n e(i)-\sum_{i=2}^{n}S(\lfloor{n\over i}\rfloor)=1-\sum_{i=2}^{n}S(\lfloor{n\over i}\rfloor)$$
所以除法分块+记忆化就可以啦，效率是 $O(n^{3\over 4})$ 。证明？我不会啊！如果预处理前 $O(n^{2\over 3})$ 个，复杂度就变成 $O(n^{2\over 3})$ 了。证明？我不会啊！

解题报告

#include<cstdio>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=4650000;

int p[maxn+5],mu[maxn+5];bool pri[maxn+5];
LL L,R;map<LL,int> f;

void Make()
{
    pri[1]=true;mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if (!pri[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,t;j<=p[0]&&(t=i*p[j])<=maxn;j++)
        {
            pri[t]=true;mu[t]=-mu[i];
            if (!(i%p[j])) {mu[t]=0;continue;}
        }
    }
    for (int i=2;i<=maxn;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
LL Sum(LL n)
{
    if (n<=maxn) return mu[n];
    if (f.count(n)) return f[n];LL ans=1;
    for (LL l=2,r;l<=n;l=r+1)
        r=n/(n/l),ans-=Sum(n/l)*(r-l+1);
    return f[n]=ans;
}
int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&L,&R);f.clear();Make();
    return printf("%lld\n",Sum(R)-Sum(L-1)),0;
}