[51nod1244]莫比乌斯函数之和

本文介绍了一种利用莫比乌斯函数求特定区间内数论函数和的方法,并给出了具体的数学推导过程及代码实现。通过分块技术和记忆化搜索等手段,实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description

i=lrμ(i)

l,r<=10^10

Solution

M(n)=i=1nμ(i)

我们知道,
d|nμ(d)=[n=1]

那么
1=i=1nd|iμ(d)

=T=1nd|Tμ(d)

=i=1nd=1niμ(d)

i=1nM(ni)

于是,
M(n)=1i=2nM(ni)

后面的东西可以用分块来加速。
然后打上记忆化标记。
或者可以先预处理出一段的前缀和,这样会快一点。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=6666666;
int mu[N+5],p[N+5],cnt;
int last[mo],next[mo],v[mo];
ll t[mo],l,r;
bool bz[N+5];
void add(int x,ll y,int z) {
    t[++cnt]=y;v[cnt]=z;next[cnt]=last[x];last[x]=cnt;
}
int calc(ll x) {
    if (x<=N) return mu[x];int ans=1,k=x%mo;
    rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
    for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),ans-=calc(x/l)*(r-l+1);
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main() {
    fo(i,2,N) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>N) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;fo(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
    scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("%d",calc(r)-calc(l-1));
}
### 关于51Nod平台上编号为1020的问题详情与解答 #### 问题描述 在51Nod平台上的第1020号问题是关于计算两个大整数相加的结果[^1]。给定两个正整数A和B,长度不超过10^6位,要求编写程序来求解这两个数的和。 #### 输入格式说明 输入数据由多组测试案例组成;每组测试案例占两行,分别表示要相加的大整数A和B。对于每一组测试案例,应当单独输出一行结果,即A+B的值。 #### 解决方案概述 解决此问题的关键在于处理超大数据类型的运算,在大多数编程语言中内置的数据类型无法直接支持如此大规模数值的操作。因此,可以采用字符串的方式来存储这些大整数,并实现逐位相加逻辑,同时考虑进位情况。 下面是一个Python版本的具体实现方法: ```python def add_large_numbers(a: str, b: str) -> str: # Reverse strings to make addition easier from least significant digit a = a[::-1] b = b[::-1] carry = 0 result = [] max_length = max(len(a), len(b)) for i in range(max_length): digit_a = int(a[i]) if i < len(a) else 0 digit_b = int(b[i]) if i < len(b) else 0 total = digit_a + digit_b + carry carry = total // 10 current_digit = total % 10 result.append(str(current_digit)) if carry != 0: result.append(str(carry)) return ''.join(reversed(result)) if __name__ == "__main__": while True: try: num1 = input().strip() num2 = input().strip() print(add_large_numbers(num1, num2)) except EOFError: break ``` 该代码片段定义了一个函数`add_large_numbers`用于接收两个作为参数传入的大整数(形式上为字符串),并返回它们之和同样作为一个字符串。通过反转输入字符串使得最低有效位位于索引位置0处从而简化了按位累加的过程。最后再将得到的结果列表反向拼接成最终答案输出。
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