[51nod1244]莫比乌斯函数之和

最新推荐文章于 2019-09-01 22:58:49 发布

alan_cty

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分类专栏：暴力数论分块文章标签： 51nod1244 莫比乌斯函数之和前缀和分块记忆化

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本文介绍了一种利用莫比乌斯函数求特定区间内数论函数和的方法，并给出了具体的数学推导过程及代码实现。通过分块技术和记忆化搜索等手段，实现了高效的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

求

\sum i = l r μ (i)

$\sum_{i=l}^{r}\mu(i)$
l,r<=10^10

Solution

设

M (n) = \sum i = 1 n μ (i)

$M(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)$
我们知道，

\sum d | n μ (d) = [n = 1]

$\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]$
那么

1 = \sum i = 1 n \sum d | i μ (d)

$1=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu(d)$

= \sum T = 1 n \sum d | T μ (d)

$=\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}\mu(d)$

= \sum i = 1 n \sum d = 1 ⌊ n i ⌋ μ (d)

$=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\lfloor{n\over i}\rfloor}\mu(d)$

\sum i = 1 n M (⌊ n i ⌋)

$\sum_{i=1}^{n}M(\lfloor{n\over i}\rfloor)$
于是，

M (n) = 1 - \sum i = 2 n M (⌊ n i ⌋)

$M(n)=1-\sum_{i=2}^{n}M(\lfloor{n\over i}\rfloor)$
后面的东西可以用分块来加速。
然后打上记忆化标记。
或者可以先预处理出一段的前缀和，这样会快一点。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mo=6666666;
int mu[N+5],p[N+5],cnt;
int last[mo],next[mo],v[mo];
ll t[mo],l,r;
bool bz[N+5];
void add(int x,ll y,int z) {
    t[++cnt]=y;v[cnt]=z;next[cnt]=last[x];last[x]=cnt;
}
int calc(ll x) {
    if (x<=N) return mu[x];int ans=1,k=x%mo;
    rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
    for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),ans-=calc(x/l)*(r-l+1);
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main() {
    fo(i,2,N) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>N) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) break;
            mu[k]=-mu[i];
        }
    }
    mu[1]=1;fo(i,1,N) mu[i]+=mu[i-1];
    scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("%d",calc(r)-calc(l-1));
}