51nod1244(杜教筛)

最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布

qkoqhh

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分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qkoqhh/article/details/82084609

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博客介绍了杜教筛，可参考相关文章。针对莫比乌斯函数之和的问题，对其进行化简，可分块求解，复杂度分析为O(n^(3/4))，预处理后可降至O(n^(2/3))。还介绍了莫比乌斯函数的定义及区间求和示例。

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杜教筛实在是太神了。。有关杜教筛可参考tls文章：https://blog.youkuaiyun.com/skywalkert/article/details/50500009

针对这题来说，设莫比乌斯函数为M(n)，由 $\sum_{d|n}\mu(d)=e(n)$ ，可做如下化简：

$M(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i)=\sum_{i=1}^{n}(e(i)-\sum_{d|i\&\&d<i}\mu(d)) =1-\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n\&\&d<n}\mu(d)$

枚举倍数d的倍数，由于对一个d，其累加次数为n/d次，即倍数为i的d最大为n/d，故有下式

$M(n)=1-\sum_{i=1}^{n} \sum_{d=1}^{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}\mu(d)=1-\sum_{i=1}^{n}M(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$

然后上式可分块求，tls文章里面分析复杂度为O(n^(3/4))，如果预处理前n^(2/3)复杂度可降至O(n^(2/3))，然而窝并不会证。。

然后不用map存中间变量就特别慢，窝也不造为什么。。所以实际复杂度可能多一个log。。

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 */
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1LL<<(x))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid (x+y>>1)
#define NM 5000005
#define nm 200005
#define N 1000005
#define M(x,y) x=max(x,y)
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+7;
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
  

int mu[NM],a[NM],tot,prime[NM],n;
ll _x,_y;
bool v[NM];
map<ll,ll>b;

void init(){
    n=5e6;mu[1]=a[1]=1;
    inc(i,2,n){
	if(!v[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
	inc(j,1,tot){
	    if(i*prime[j]>n)break;
	    v[i*prime[j]]++;
	    if(i%prime[j]==0)break;
	    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
	}
	a[i]=a[i-1]+mu[i];
    }
}

ll Mu(ll m){
    if(m<=n)return a[m];
    if(b[m])return b[m];
    ll s=0;
    for(ll x=2,y;x<=m;x=y+1){
	y=m/(m/x);
	s+=(y-x+1)*Mu(m/x);
    }
    b[m]=1-s;
    return b[m];
}


int main(){
    init();
    _x=read();_y=read();
    printf("%lld\n",Mu(_y)-Mu(_x-1));
}

1244 莫比乌斯函数之和

基准时间限制：3 秒空间限制：131072 KB 分值: 320 难度：7级算法题

关注

莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：

如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。

如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。

给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + ...... miu(b)。

例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)

= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1