8、分数阶模型的分析与替代建模方案

分数阶模型的分析与替代建模方案

1. 分数阶模型概述

分数阶模型并非从物理考量推导得出，而是对现有（整数阶）工具的推广。它具有一个内在且不切实际的特性，即双重无限维模型：一方面，因其分布特性而具有无限性；另一方面，其参数分布定义在无限空间域上，同样体现出无限性。只有尝试分析分数阶模型的物理意义，才能揭示这一特性。

1.1 分数阶行为与模型的定义

分数阶行为和分数阶模型是两个不同的概念。分数阶（动态）行为描述了一些实际系统的特性，这些系统在有限的时间或频率范围内呈现幂律行为，例如系统脉冲响应在给定时间带内表现为 (t^{-\nu})，或者系统频率响应在给定频率带内表现为 ((j\omega)^{-1 + \nu})。分数阶模型则是为了捕捉这些分数阶行为而引入的一类模型。

分数阶模型的引入没有考虑物理依据，只是通过将经典微分算子替换为分数阶微分算子，对现有建模工具进行了推广。分数阶微分算子在数学上早已被定义，并且已知其具有分数阶行为（但并非仅在有限的时间或频率范围内）。因此，分数阶微分方程成为捕捉某些分数阶行为的可能模型。

1.2 分数阶模型的常见表示形式

• 分数阶微分方程 ：以 (u(t) \in R) 和 (y(t) \in R) 分别作为输入和输出，分数阶微分方程的形式为：
  (\sum_{k = 0}^{N_a} a_k D_{t_0}^{\nu_{a_k}} (y(t)) = \sum_{k = 0}^{N_b} b_k D_{t_0}^{\nu_{b_k}} (u(t)))
  其中 (a_k \in R) 和 (b_k \in R)，(D_