9、分数阶模型与相关应用研究

分数阶模型与相关应用研究

1. 分数阶模型概述

分数阶模型存在一个显著问题，即具有无限记忆性。然而，许多关于分数阶模型的研究似乎忽略了这一特性，导致在模型初始化时出现错误。其无限记忆要求考虑模型的整个历史，而不仅仅是像Caputo定义那样只考虑初始条件。

除了分数阶模型，还有其他一些能够捕捉分数行为且避免其缺点的模型，具体如下：
- 具有有限记忆核的算子
- Volterra方程
- 分布式时间延迟模型
- 时变模型
- 非线性模型
- 具有空间可变系数的扩散方程

考虑分数行为而不局限于分数阶模型，为模型分析和识别领域开辟了无数的研究途径。

2. 基于分数阶数学模型的COVID - 19稳定性分析

2.1 模型构建背景

新冠病毒（Covid - 19）在两年前席卷全球，成为当前时代最大的全球威胁。为了预测其未来影响，研究人员采用分数阶微分方程来分析疫情系统的动态行为。这里构建了一个四室SEIR模型，使用Caputo分数阶导数来描述新冠病毒的传播。

2.2 基本定义

• Caputo分数阶导数 ：对于在[0, T]上可积的函数f，分数阶Caputo导数定义为$CD_{0}^{\beta} f(t) = \frac{1}{\Gamma (m - \beta)}\int_{0}^{t}(t - r)^{m - \beta - 1}f^{(m)}(r)dr$，其中$m = [\beta] + 1$，$[\beta]$表示$\beta$的整数部分。