1、分数行为分析与建模的革新建议

分数行为分析与建模的革新建议

1. 引言

在过去四十多年的快速发展与统一之后，分数算子和分数模型领域的研究群体如今似乎分裂为两派：保守派和改革派。这种情况引发了一些激烈的学术争论。保守派希望沿着现有的研究路径继续前进，并批评（有时是错误地批评）改革派新想法的弱点；而改革派则认识到了分数算子的局限性，并试图提供替代方案。

本文属于改革派的范畴，旨在对动态模型中分数算子的定义进行重新表述，采用如文献中那样在Volterra型算子中使用新的核函数。尽管改革建议已经提出了一段时间，但对这种思维方式的批评却是最近才出现的。

虽然对于具有幂律等待时间、概率密度函数和有限方差跳跃长度的连续时间随机游走过程，在Fourier - Laplace域中找到粒子在位置x和时间t的概率密度函数与具有Riemann - Liouville分数导数的时间分数扩散方程的解相同，但这些结果是在无限维空间和渐近时间分析（时间趋于无穷）的条件下得到的。分数Riemann - Liouville算子（以及其他算子）与无限空间域的这种联系，导致了分数算子存在无限慢和无限快的时间常数（前者导致无限记忆）的缺点，而这可以通过改变Riemann - Liouville算子（以及类似算子）中使用的核函数来解决。

2. 分数阶模型及其相关缺点

2.1 分数算子研究增长的原因

过去四十多年来，对导数或分数积分算子（考虑的积分和导数阶数不限于两个数的比值，用非整数来描述更合适）的研究持续增加，主要有以下两个原因：
- 众多领域存在幂律行为 ：许多领域都揭示出其演化动力学或动态行为遵循幂律，即在时域中表现为$t^{-\n