22、增量式与分层式 k - 中值算法的实验评估

增量式与分层式 k - 中值算法的实验评估

1. 引言

在实际场景中，一家公司为了服务客户而建设设施。由于资金有限，公司只能先建设少量设施，但计划未来进行扩张以提升客户服务质量。公司面临的问题是，能否规划一个设施建设顺序，使得按此顺序开启前 k 个设施时，该方案的成本接近任意选择 k 个设施的最优方案成本，这就是增量式 k - 中值问题。

标准的 k - 中值问题近年来在算法领域备受关注。给定一组设施和客户在度量空间中的位置以及参数 k，该问题旨在找到一组 k 个要开启的设施，使得客户到最近开启设施的距离之和最小。由于度量 k - 中值问题是 NP 难问题，许多研究者致力于寻找其近似算法。

• 近似算法概念 ：对于最小化问题，α - 近似算法能在多项式时间内运行，输出的解的成本最多为最优解成本的 α 倍，α 被称为算法的近似因子或性能保证。
• 已知的最佳近似算法 ：目前该问题已知的最佳近似算法性能保证为 3 + ϵ，由 Arya 等人提出，基于局部搜索启发式。

增量式 k - 中值问题要求在不给定参数 k 的情况下，生成一个设施顺序。对于每个 k，计算按此顺序开启前 k 个设施的成本与最优 k - 中值解成本的比率，目标是找到一个顺序，使该比率的最大值最小。若算法的该比率最大值不超过 α，则称该算法具有 α 竞争力，α 为算法的竞争比。Mettu 和 Plaxton 给出了一个 29.86 竞争比的增量式 k - 中值算法，后来 Lin 等人给出了确定性 16 竞争比和随机化 10.88 竞争比的算法。

分层式 k -