BZOJ1013 [JSOI2008]球形空间产生器sphere（洛谷P4035）

高斯消元

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设这个$n$维球体的第$i$维坐标为$O_i$，半径为$R$。第$i$个点第$j$维坐标为$a_{i,j}$那么我们可以列出$n+1$个方程，像这样：

$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} & \sum_{i=1}^{n}(a_{1,i}-O_i)^2=R^2 \\ & \sum_{i=1}^{n}(a_{2,i}-O_i)^2=R^2 \\ & \vdots \\ & \sum_{i=1}^{n}(a_{n+1,i}-O_i)^2=R^2 \\ \end{aligned} \right. \end{equation}$$

我们把其他等式分别减去第一个等式，化简后可以发现$O_i^2$会被约掉。剩下的就是关于$O_i$的$n$元一次方程，高斯消元求解即可。

第$j$个减第一个：

$$\sum_{i=1}^n(a_{j,i}^2-2a_{j,i}O_i+O_i^2-(a_{1,i}^2-2a_{1,i}O_i+O_i^2))=0$$

$$\sum_{i=1}^n2(a_{j,i}-a_{1,i})O_i=\sum_{i=1}^na_{j,i}^2-a_{1,i}^2$$

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 12 
#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))
using namespace std;
typedef double DB;
int n;
DB p[N],a[N][N],ans[N];
inline void gauss(){
    for (int i=1,x=1;i<=n;x=++i){
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            if (abs(a[j][i])>abs(a[x][i])) x=j;
            if (i!=x) swap(a[i],a[x]); DB d=a[i][i];
            for (int j=i;j<=n+1;j++) a[i][j]/=d;
            for (int j=i+1;j<=n;j++){
                d=a[j][i];
                for (int k=i;k<=n+1;k++)
                    a[j][k]-=a[i][k]*d;
            }
    }
    for (int i=n;i;i--){
        ans[i]=a[i][n+1];
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
            ans[i]-=a[i][j]*ans[j];
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf",&p[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=1;j<=n;j++){
            DB tmp; scanf("%lf",&tmp);
            a[i][j]=2*(tmp-p[j]);
            a[i][n+1]+=tmp*tmp-p[j]*p[j];
        }
    gauss();
    for (int i=1;i<n;i++)
        printf("%.3f ",ans[i]);
    return printf("%.3f\n",ans[n]),0;
}