点分治简介（洛谷P3806）

算法用途

处理树上路径之间的一些关系时，如果采用暴力，往往时间复杂度不能够接受。而点分治能够很好的解决这一类问题

算法基本步骤及实现

以洛谷P3806为例

1.找根

第一步当然是把无根树变成有根树。但是把哪个点当作根，这是很讲究的。

因为树是递归操作的，因此我们希望递归的次数越小越好。
定义树的重心：找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心。
这就是我们要找的点。

那要怎么找重心呢？

DFS算出以每个节点为根的子树大小，同时记录每个节点最大子树的大小。
如果当前节点的最大子树大小<当前根的最大子树大小，更新当前根。

给个代码参考：

void dfsrt(int x,int fa){
    sum[x]=1; ma[x]=0;//sum存子树大小，ma存最大子树的大小
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa&&!f[ed[i].to]){
            int v=ed[i].to; dfsrt(v,x);
            sum[x]+=sum[v]; ma[x]=max(ma[x],sum[v]);
        }
    ma[x]=max(ma[x],t-sum[x]);//还有另一个子树（即它的爸爸）
    if (ma[x]<ma[rt]) rt=x;//rt为根
}

2.处理经过当前根的路径

经过当前根的路径=所有路径-没有经过当前根的路径

3.删除根节点

4.递归处理其子树

这道题让我们求树上距离为k的点对，那么我们先递归求出每个点到根的距离，然后两两配对即可。时间复杂度$O(n^2)$(n为这棵树的节点个数)

但是我们可以优化一下。先给所有距离排序，再从两头进行配对。正确性显然。时间复杂度$O(nlogn)$。

然而这道题有100个k，做100次点分治显然不可能。注意到k<=1e7，那么直接预处理距离为1~1e7的点对个数，然后$O(1)$回答。

void dfsdep(int x,int fa){//计算到根节点的距离
    dep[++p]=dis[x];
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa&&!f[ed[i].to]){
            dis[ed[i].to]=dis[x]+ed[i].dis;
            dfsdep(ed[i].to,x);
        }
}
void dfssum(int x,int v,bool flag){//计算满足条件的点对个数
    dis[x]=v; p=0; dfsdep(x,0);
    for (int i=1;i<=p;i++)
        for (int j=1;j<=p;j++)
            if (flag&&dep[i]+dep[j]<=inf) num[dep[i]+dep[j]]++;//预处理
            else if (dep[i]+dep[j]<=inf) num[dep[i]+dep[j]]--;
}
void dfsans(int x){//递归
    f[x]=true;//删除根节点 
    dfssum(x,0,1);//总路径
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)//递归其子树
        if (!f[ed[i].to]){
            int v=ed[i].to; dfssum(v,ed[i].dis,0);//不合法路径
            rt=0; t=sum[v]; dfsrt(v,0); dfsans(rt);
        }
}

完整代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 10000
#define inf 10000000
using namespace std;
struct edge{
    int next,to,dis;
}ed[MAXN*2+5];
int n,k,m,p,t,rt,ans;
int h[MAXN+5],dis[MAXN+5],dep[MAXN+5],ma[MAXN+5],sum[MAXN+5],num[inf+5];
bool f[MAXN+5];
inline char readc(){
    static char buf[100000],*l=buf,*r=buf;
    if (l==r) r=(l=buf)+fread(buf,1,100000,stdin);
    if (l==r) return EOF; return *l++;
}
inline int _read(){
    int num=0; char ch=readc();
    while (ch<'0'||ch>'9') ch=readc();
    while (ch>='0'&&ch<='9') { num=num*10+ch-48; ch=readc(); }
    return num;
}
void addedge(int x,int y,int z){
    ed[++k].next=h[x]; ed[k].to=y; ed[k].dis=z; h[x]=k;
}
void dfsrt(int x,int fa){
    sum[x]=1; ma[x]=0;
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa&&!f[ed[i].to]){
            int v=ed[i].to; dfsrt(v,x);
            sum[x]+=sum[v]; ma[x]=max(ma[x],sum[v]);
        }
    ma[x]=max(ma[x],t-sum[x]);
    if (ma[x]<ma[rt]) rt=x;
}
void dfsdep(int x,int fa){
    dep[++p]=dis[x];
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (ed[i].to!=fa&&!f[ed[i].to]){
            dis[ed[i].to]=dis[x]+ed[i].dis;
            dfsdep(ed[i].to,x);
        }
}
void dfssum(int x,int v,bool flag){
    dis[x]=v; p=0; dfsdep(x,0);
    for (int i=1;i<=p;i++)
        for (int j=1;j<=p;j++)
            if (flag&&dep[i]+dep[j]<=inf) num[dep[i]+dep[j]]++;
            else if (dep[i]+dep[j]<=inf) num[dep[i]+dep[j]]--;
}
void dfsans(int x){
    f[x]=true; dfssum(x,0,1);
    for (int i=h[x];i;i=ed[i].next)
        if (!f[ed[i].to]){
            int v=ed[i].to; dfssum(v,ed[i].dis,0);
            rt=0; t=sum[v]; dfsrt(v,0); dfsans(rt);
        }
}
int main(){
    n=_read(); m=_read();
    for (int i=1;i<n;i++){
        int u=_read(),v=_read(),d=_read();
        addedge(u,v,d); addedge(v,u,d);
    }
    t=n; ma[0]=0x7fffffff; dfsrt(1,0); dfsans(rt);
    for (int i=1;i<=m;i++){
        int u=_read();
        if (num[u]) printf("AYE\n");
        else printf("NAY\n");
    }
    return 0;
}