复变函数与积分变换 第四章——解析函数的级数表示

参考教程：

https://www.bilibili.com/video/BV1hV411v7KB?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=8f8a7bd7765d52551c498d7eaed8acd5

一、复数项级数

1、复数列的极限

（1）复数列的定义：

（2）复数列的收敛与发散定义：

（3）复数列与实数列的敛散关系：

2、复数项级数

（1）正项级数敛散性的常用判别法：

①比较审敛法：

②比值审敛法：

（2）级数添加、减少或改变有限项，不会改变级数的敛散性。

（3）复数项级数的收敛与发散定义：

（4）复数项级数与实数项级数的敛散关系：

（5）级数的绝对收敛与条件收敛：

（6）定理：

3、例题

二、幂级数

1、幂级数的概念

（1）复变函数列的定义：

（2）幂级数的定义：

2、收敛定理（阿贝尔定理）

3、收敛圆与收敛半径

（1）幂级数的收敛范围可能的情况：

（2）收敛圆与收敛半径的定义：

（3）收敛半径的求法：

4、幂级数和运算和性质

（1）代数运算：

（2）代换（复合）运算：

（3）分析运算：

5、例题

三、泰勒级数

1、泰勒定理

2、将函数展开成泰勒级数

（1）直接法：

（2）间接展开法：

        借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质、幂级数运算性质（逐项求导、积分等）和其它数学技巧（代换等），也可以求出函数的泰勒展开式

3、例题

四、洛朗级数

1、双边幂级数

（1）双边幂级数的定义：

（2）双边幂级数的收敛域：

        根据双边幂级数的定义可知，它可拆分为负幂级数和正幂级数相加，如果负幂级数和正幂级数同时收敛，那么双边幂级数也收敛，反之亦然

2、洛朗定理

3、例题