复变函数与积分变换 第六章——傅里叶变换

参考教程：

https://www.bilibili.com/video/BV1hV411v7KB?spm_id_from=333.788.videopod.episodes&vd_source=8f8a7bd7765d52551c498d7eaed8acd5

一、傅里叶积分

1、傅里叶级数

2、傅立叶积分

（1）傅里叶积分的极限思想：

（2）傅里叶积分定理：

（3）傅里叶积分公式的三角形式：

（4）傅里叶正弦积分和余弦积分公式：

（5）特殊积分简便计算方法：

①奇函数在无限区间内的积分结果为0，只要被积函数是奇函数，且积分区间为无限区间，那么该积分的计算可直接省去。

②偶函数在无限区间内的积分结果等于在半无限区间内的积分结果的两倍。

3、举例

二、傅里叶变换及δ函数

1、傅里叶变换的定义

2、单位脉冲函数及其性质

（1）狄拉克函数（δ函数/单位冲激函数）定义：

（2）δ函数的筛选性质：

（3）δ函数的傅里叶变换与傅里叶反变换：

（4）重要结论：

3、频谱

（1）周期函数的频谱：

（2）非周期函数的频谱：

4、举例

三、傅里叶变换的性质

1、一些常见的傅里叶变换对

2、线性性质

3、位移性质

4、微分性质

5、积分性质

四、卷积

1、卷积的定义

2、卷积的性质

（1）卷积满足交换律，即

（2）卷积满足结合律，即

（3）卷积的微分有

（4）任意函数与δ函数卷积，结果为其本身，即

3、卷积定理