高等数学笔记：定积分相关公式

繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

定积分相关公式

01 对称区间的积分公式

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=\{\begin{array}{cc}0& f(x)\text{ 为奇函数 }\\ 2{\int }_0^{a}f(x)dx& f(x)\text{ 为偶函数 }\end{array}$$

02 三角函数形式的积分公式

从几何上考虑

💝💝💝：要记住会默写

✍✍✍：会推导不要背
$$\begin{array}{rl}& 💝{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\cos x)dx\\ & 💝{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx\\ & 💝{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\pi }f(\sin x)dx\\ & 💝{\int }_0^{\pi }xf(\sin x)dx=\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx\\ & 💝{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}x(f(\sin x)+f(\cos x))dx=\frac{\pi }{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}f(\sin x)dx\\ & ✍\int {\sin }^{n}xdx=-\frac{\cos x{\sin }^{n-1}x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\sin }^{n-2}xdx\\ & ✍\int {\cos }^{n}xdx=\frac{\sin x{\cos }^{n-1}x}{n}+\frac{n-1}{n}\int {\cos }^{n-2}xdx\\ & ✍\int {\tan }^{n}xdx=\frac{{\tan }^{n-1}x}{n-1}-\int {\tan }^{n-2}xdx\\ & ✍\int \frac{dx}{a\sin x+b\cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}}\ln \left|\tan \frac{x+\arctan \frac{b}{a}}{2}\right|+C\end{array}$$

03 华理士公式

华理士公式（点火公式）
$$\begin{array}{rl}& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\frac{(n-1)!!}{n!!}H\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1)!!}{n!!}& n为奇数，点火失败，H取1\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n为偶数，点火成功，H取\frac{\pi }{2}\end{array}\\ & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{n}xdx=\{\begin{array}{cc}\frac{(n-1)!!}{n!!}& n为奇数\\ \frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot \frac{\pi }{2}& n为偶数\end{array}\end{array}$$

04 周期函数的积分公式

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx={\int }_0^{T}f(x)dx={\int }_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$$

05 柯西不等式-积分形式

$${\left({\int }_a^{b}f(x)g(x)\mathrm{d}x\right)}^2⩽{\int }_a^b{f}^2(x)\mathrm{d}x{\int }_a^b{g}^2(x)\mathrm{d}x$$