高等数学笔记：定积分相关公式

最新推荐文章于 2025-01-18 20:13:22 发布

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#学习

这篇随想录详细介绍了积分相关的公式，包括对称区间积分、三角函数积分、华理士公式以及周期函数积分。重点讲解了奇偶函数在对称区间上的积分特性，并提供了三角函数形式的积分规则，如正弦和余弦的幂次积分。此外，还提到了柯西不等式在积分中的应用，展示了积分在周期函数和不等式证明中的重要性。

繁星数学随想录·笔记卷

摘录卷

定积分相关公式

01 对称区间的积分公式

$\int_{-a}^{a} f(x) d x=\left\{\begin{array}{cc}0 & f(x) \text { 为奇函数 } \\ 2 \int_{0}^{a} f(x) d x & f(x) \text { 为偶函数 }\end{array}\right.$

02 三角函数形式的积分公式

从几何上考虑

💝💝💝：要记住会默写

✍✍✍：会推导不要背
$\begin{aligned} & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} xf(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & 💝\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x(f(\sin x)+f(\cos x)) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x\\ & ✍\int \sin ^{n} x d x=-\frac{\cos x \sin ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x \\ & ✍\int \cos ^{n} x d x=\frac{\sin x \cos ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \tan ^{n} x d x=\frac{\tan ^{n-1} x}{n-1}-\int \tan ^{n-2} x d x\\ & ✍\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x}=\frac{1}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \ln \left|\tan \frac{x+\arctan \frac{b}{a}}{2}\right|+C \end{aligned}$

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