高等数学学习笔记 ☞ 映射

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#映射 #三要素

于 2024-12-24 14:37:08 首次发布

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1. 映射的定义

设X，Y为非空的集合，若存在法则 f，使得对于X中任意的元素 $x$ ，按照法则 f，在Y中都有唯一的元素 $y$ 与之对应，

则称法则 f为从X到Y的映射。记作：f：X $\rightarrow$ Y，其中：X称为原像，Y称为像。

备注：

①：函数仅仅属于映射的一种。

②：映射 f定义明确：允许一对一，多对一，但不允许一对多。

2. 映射的三要素

（1）定义域：记作 $D_{f}$ ，即映射 f的定义域就是 $D_{f}$ ，其中 $D_{f} = X$ 。

（2）值域：记作 $R_{f}$ ，即映射 f的值域就是 $R_{f}$ ，其中 $R_{f} = \left \{ f(x)|x\in X \right \}$ 。

（3）法则：记作 f，即所定义的规则。

备注：

①：对于集合X中的任意 $x$ ，它的像是唯一的；对于集合Y中的任意 $y$ ，它的原像不一定是唯一的。

②：映射 f的值域是 $R_{f}$ ，不是Y，其中： $R_{f}\subset Y$ 。

3. 映射的种类

（1）满射：映射 f的值域 $R_{f}$ 恰好为Y。

（2）单射：在定义域 $D_{f}$ 中任取元素 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ( $x_{1}$ ≠ $x_{2}$ )，在值域 $R_{f}$ 中都有 $f(x_{1}) \neq f(x_{2})$ 。

（3）一一映射：同时满足满射和单射的映射。

（4）逆映射：已知映射 $f:X\rightarrow Y$ 为单射，若对于值域 $R_{f}$ 中的任意元素 $y$ ，在定义域 $D_{f}$ 中都有唯一的元素 $x$ 与之对应，

则称法则 $f^{-1}$ 为从 $R_{f}$ 到 $X$ 的逆映射。记作： $f^{-1}:R_{f}\rightarrow X$ 。

备注：

（1）（2）（3）
（4）

（5）复合映射：已知映射 $g:X\rightarrow Y_{1}$ ，映射 $f:Y_{2}\rightarrow Z$ ，其中 $Y_{1}\subset Y_{2}$ ，则称映射 $fog:X\rightarrow Z$ 为复合映射。

备注：映射 $g$ 的值域 $R_{g}$ 包含于映射 $f$ 的定义域内，即 $R_{g}\subset D_{f}$ 。

（5）

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