高等数学 函数的定义

设 ε 为任一给定的正数，则集合{x x - a < ε} 称为点 a 的 ε 邻域，它表示以 a 点为中
心，以 ε 为半径的开区间，可用 (a - ε， a + ε ) 表示；集合{x x 0 < - < a ε} 称为点 a 的去心

邻域，该集合不含 a．

ε

 

（ε）

艾普西隆

球体体积v=4πR³/3

定义 1 设 x、 y 是同一过程中的两个变量， 若当 x 在数集 D 内取任一值时， 按某种规
则 f 总能惟一确定变量 y 的一个值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记做
y = f(x)
称变量 x 是自变量，变量 y 是因变量．表示对应法则的 f 是函数的记号，集合 D 是函
数的定义域．
由定义看出，定义域与对应法则是函数概念的两大要素， 对于定义域 D 上的函数
y  = f(x) ，集合
{y| y  = f(x) ， x∈D }
称为函数的值域，显然一个函数的值域由定义域及对应法则完全确定

分段函数是函数的一种特殊表达形式．当一个函数的自变量在定义域内不同区间上用
不同式子表示时，称该函数为分段函数．

 
定义 2 设函数 y  = f(x) 的定义域 D 关于原点对称，即 x∈D x ⇔ - ∈ D ，
若 f (-x) =  f (x) ， x∈D ，则称 f (x) 为偶函数；
若 f (-x) = - f (x) ， x∈D ，则称 f (x) 为奇函数．
注意定义域要关于原点对称

偶函数的图像关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称．
两个偶函数之和、差、积、商仍是偶函数；两个奇函数之和、差仍是奇函数；两个奇
函数之积、商是偶函数；奇函数与偶函数之积、商是奇函数


定 义 3 给定 函 数 y  = f(x) ， x∈D ， 若 存 在 常数 T， 使 得 x∈D  ⇔ x+ T ∈ D 且
f (x+T)= f (x)， ， x∈D 则称 f (x) 为周期函数． 满足上述条件的最小正数 T 称为 f (x) 的周
期． 若某一函数 x，定义域为实数集，x取有理数时值为1，x取无理数时值为-1，他是周期函数吗，有最小周期吗?

艾普西隆

ε

 

（ε）

艾普西隆