高等数学 7.8常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 $p,q$ 是常数

由之前的内容可知，求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0\text{\hspace{1em}(2)}$$
的通解和非齐次方程 $(1)$ 本身的一个特解。

二阶常系数齐次线性微分方程的通解的求法已在 7.7 节得到解决，本节只需讨论求二阶常系数非齐次线性微分方程的一个特解 $y^{\ast }$ 的方法。

本节只介绍当方程 $(1)$ 中的 $f(x)$ 取两种常见形式时求 $y^{\ast }$ 的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出 $y^{\ast }$ ，它叫做 待定系数法 。$f(x)$ 的两种形式是
（1）$f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}{P}_m(x)$ ，其中 $\lambda$ 是常数，$P_m(x)$ 是 $x$ 的一个 $m$ 次多项式
$$P_m(x)=a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_{m-1}x+a_m;$$
（2）$f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+{Ｑ}_n(x)\sin \omega x]$ ，其中 $\lambda ,\omega$ 是常数，$\omega \ne 0,P_l(x),Q_n(x)$ 分别是 $x$ 的 $l$ 次、$n$ 次多项式，且仅有一个可为零。

一、$f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}{P}_m(x)$ 型

方程 $(1)$ 的特解 $y^{\ast }$ 是使 $(1)$ 成为恒等式的函数。怎样的函数能使 $(1)$ 成为恒等式呢？因为 $(1)$ 的右端 $f(x)$ 是多项式 $P_m(x)$ 与指数函数 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 的乘积，而多项式与指数函数乘积的导数仍为多项式与指数函数的乘积，因此，我们推测 $y^{\ast }=R(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$ （其中 $R(x)$ 为某个多项式）可能是方程 $(1)$ 的特解。把 $y^{\ast },y^{{\ast }^{\prime }}$ 及 $y^{{\ast }^{\prime \prime }}$ 代入方程 $(1)$ 然后考虑能否选取适当的多项式 $R(x)$ ，使 $y^{\ast }=R(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 满足方程 $(1)$ 。为此，将
$$\begin{array}{rl}{y}^{\ast }& =R(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}\\ y^{{\ast }^{\prime }}& ={\mathrm{e}}^{\lambda x}[\lambda R(x)+R^{\prime }(x)]\\ y^{{\ast }^{\prime \prime }}& ={\mathrm{e}}^{\lambda x}[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{\prime }(x)+R^{\prime \prime }(x)]\end{array}$$
代入方程 $(1)$ 并消去 ${\mathrm{e}}^{\lambda x}$ ，得
$$R^{\prime \prime }(x)+(2\lambda +p)R^{\prime }(x)+({\lambda }^2+p\lambda +q)R(x)=P_m(x)\text{\hspace{1em}(3)}$$

（i）如果 $\lambda$ 不是 $(2)$ 的特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的根，即 ${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$ ，由于 $P_m(x)$ 是一个 $m$ 次多项式，要使 $(3)$ 的两端相等，那么可令 $R(x)$ 为另一个 $m$ 次多项式：
$$R_m(x)=b_0{x}^m+b_1{x}^{m-1}+\cdots +b_{m-1}x+b_m,$$
代入 $(3)$ 式，比较等式两端 $x$ 同次幂的系数，就得到以 $b_0,b_1,\cdots ,b_m$ 作为未知数的 $m+1$ 个方程的联立方程组。从而可以确定这些 $b_i(i=0,1,\cdots ,m)$ ，并得到所求的特解 $y^{\ast }=R_m(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$ 。

（ii）如果 $\lambda$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的单根，即 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ 但 $2\lambda +p\ne 0$ ，要使 $(3)$ 的两端恒等，那么 $R^{\prime }(x)$ 必须是 $m$ 次多项式。此时可令
$$R(x)=x{R}_m(x)，$$
并可用同样的方法来确定 $R_m(x)$ 的系数 $b_i(i=0,1,\cdots ,m)$ 。

（iii）如果 $\lambda$ 是特征方程 $r^2+pr+q=0$ 的重根，即 ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$ 且 $2\lambda +p=0$ ，要使 $(3)$ 的两端恒等，那么 $R^{\prime \prime }(x)$ 必须是 $m$ 次多项式。此时可令
$$R(x)=x^2{R}_m(x),$$
并用同样的方法来确定 $R_m(x)$ 中的系数。

综上所述，有以下结论：
如果 $f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}{P}_m(x)$ ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程 $(1)$ 具有形如
$$y^{\ast }=x^k{R}_m(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}\text{\hspace{1em}(4)}$$
的特解，其中 $R_m(x)$ 是与 $P_m(x)$ 同次 （$m$ 次）的多项式，而 $k$ 按 $\lambda$ 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为 $0,1$ 或 $2$ 。

上述结论可推广到 $n$ 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 $(4)$ 式中的 $k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数（即若 $\lambda$ 不是特征方程的根，则 $k$ 取为 $0$；若 $\lambda$ 是特征方程的 $s$ 重根，则 $k$ 取为 $s$）。

二、$f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$ 型

应用欧拉公式
$$\cos \theta =\frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{i\theta }+{\mathrm{e}}^{-i\theta }),\sin \theta =\frac{1}{2\mathrm{i}}({\mathrm{e}}^{i\theta }-{\mathrm{e}}^{-i\theta }),$$
把 $f(x)$ 表示成复变指数函数的形式，有
$$\begin{array}{rl}f(x)& ={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left(P_l\cos \omega x+Q_n\sin \omega x\right)\\ & ={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left(P_l\frac{{\mathrm{e}}^{\omega x\mathrm{i}}+{\mathrm{e}}^{-\omega x\mathrm{i}}}{2}+Q_n\frac{{\mathrm{e}}^{\omega x\mathrm{i}}-{\mathrm{e}}^{-\omega x\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\right)\\ & =\left(\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}\right){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+\left(\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}\right){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}\\ & =P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+\overline{P}(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x},\end{array}$$
其中
$$P(x)=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2}\mathrm{i},\overline{P}(x)=\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}=\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2}\mathrm{i}$$
是互成共轭的 $m$ 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而 m = max ⁡ { l , n } m = \max{\{ l, n \}} m=max{l,n} 。

应用之前的结果，对于 $f(x)$ 中的第一项 $P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$ ，可以求出一个 $m$ 次多项式 $R_m(x)$ ，使得 $y_1^{\ast }=x^k{R}_m{\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$ 为方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$$
的特解，其中 $k$ 按 $\lambda +\omega \mathrm{i}$ 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 $0$ 或 $1$ 。由于 $f(x)$ 的第二项 $\overline{P}(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$ 与第一项 $P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$ 成共轭，所以与 $y_1^{\ast }$ 成共轭的函数 $y_2^{\ast }=x^k{\overline{R}}_m{\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$ 必然是方程
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=\overline{P}(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$$
的特解，这里 ${\overline{R}}_m$ 表示与 $R_m$ 成共轭的 $m$ 次多项式。于是方程 $(1)$ 具有形如
$$y^{\ast }=x^k{R}_m{\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+x^k{\overline{R}}_m{\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$$
的特解。上式可写为
$$\begin{array}{rl}{y}^{\ast }& =x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}\left(R_m{\mathrm{e}}^{\omega x\mathrm{i}}+{\overline{R}}_m{\mathrm{e}}^{-\omega x\mathrm{i}}\right)\\ & =x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}[R_m(\cos \omega x+\mathrm{i}\sin \omega x)+{\overline{R}}_m(\cos \omega x-\mathrm{i}\sin \omega x)]\end{array}$$
由于括号内的两项是互成共轭的，相加后即无虚部，所以可以写成实函数的形式
$$y^{\ast }=x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]$$

综上所述，我们有如下结论：
如果 $f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x]$ ，那么二阶常系数非齐次线性微分方程 $(1)$ 的特解可设为
$$y^{\ast }=x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x]\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中 $R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式， m = max ⁡ { l , n } m = \max{\{ l, n \}} m=max{l,n}，而 $k$ 按 $\lambda +\omega \mathrm{i}$ （或 $\lambda -\omega \mathrm{i}$）不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取$0$或$1$ 。

上述结论可以推广到 $n$ 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 $(5)$ 式中的 $k$ 是特征方程中含根 $\lambda +\omega \mathrm{i}$ （或 $\lambda -\omega \mathrm{i}$）的重复次数。

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