高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程

一、$y^{(n)}=f(x)$ 型的微分方程

微分方程
$$y^{(n)}=f(x)\text{\hspace{1em}(1)}$$
的右端仅含有自变量 $x$ 。容易看出，只要把 $y^{(n-1)}$ 作为新的未知函数，那么 $(1)$ 式就是新未知函数的一阶微分方程。两边积分，就得到一个 $n-1$ 阶的微分方程
$$y^{(n-1)}=\int f(x)\mathrm{d}x+C_1.$$
同理可得
$$y^{(n-2)}=\int \left[\int f(x)\mathrm{d}x+C_1\right]\mathrm{d}x+C_2.$$
依此法继续进行，接连积分 $n$ 次，便得方程 $(1)$ 的含有 $n$ 个任意常数的通解。

例1 求微分方程 $y^{\prime \prime \prime }={\mathrm{e}}^{2x}-\cos x$ 的通解。
解：对所给方程接连积分三次，得
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }& =\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}-\sin x+C,\\ y^{\prime }& =\frac{1}{4}{2}^{2x}+\cos x+Cx+C_2,\\ y& =\frac{1}{8}{\mathrm{e}}^{2x}+\sin x+C_1{x}^2+C_{2}x+C_3\left(C_1=\frac{C}{2}\right)\end{array}$$
这就是所求的通解。

二、$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型的微分方程

方程
$$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })\text{\hspace{1em}(2)}$$
的右端不显含未知函数 $y$ 。如果我们设 $y^{\prime }=p$ ，那么
$$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=p^{\prime }$$
而方程 $(2)$ 就成为
$$p^{\prime }=f(x,p)$$
这是一个关于变量 $x,p$ 的一阶微分方程。设其通解为
$$p=\phi (x,C_1)$$
但是 $p=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，因此又得到一个一阶微分方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi (x,C_1).$$
对它进行积分，便得方程 $(2)$ 的通解为
$$y=\int \phi (x,C_1)\mathrm{d}x+C_2$$

例2 求微分方程 $(1+x^2)y^{\prime \prime }=2x{y}^{\prime }$ 满足初值条件 ${y|}_{x=0}=1,{y^{\prime }|}_{x=0}=3$ 的特解。
解 ：所给方程是 $y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$ 型的。设 $y^{\prime }=p$ ，代入方程并分离变量后，有
$$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{2x}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$
两端积分，得
$$\ln |p|=\ln (1+x^2)+C,$$
即
$$p=y^{\prime }=C_1(1+x^2)(C_1=\pm {\mathrm{e}}^C).$$
由条件 ${y^{\prime }|}_{x=0}=3$ ，得
$$C_1=3$$
所以
$$y^{\prime }=3(1+x^2).$$
两端再积分，得
$$y=x^3+3x+C_2.$$
又由条件 ${y|}_{x=0}=1$ ，得
$$C_2=1$$
于是所求的特解为
$$y=x^3+3x+1$$

三、$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$ 型的微分方程

方程
$$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })\text{\hspace{1em}(3)}$$
中不明显地含自变量 $x$ ，为了求出它的解，我们令 $y^{\prime }=p$ ，并利用复合函数的求导法则把 $y^{\prime \prime }$ 化为对 $y$ 的导数，即
$$y^{\prime \prime }=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}\cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}.$$
这样，方程 $(3)$ 就成为
$$p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=f(y,p).$$
这是一个关于变量 $y,p$ 的一阶微分方程，设它的通解为
$$y^{\prime }=p=\phi (y,C_1),$$
分离变量并积分，便得到方程 $(3)$ 的通解为
$$\int \frac{\mathrm{d}y}{\phi (y,C_1)}=x+C_2.$$

例3 求微分方程 $y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}=0$ 的通解。
解：方程不明显的含自变量 $x$ ，设
$$y^{\prime }=p$$
则 $y^{\prime \prime }=p\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$ ，代入原方程，得
$$yp\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}-p^2=0.$$
在 $y\ne 0,p\ne 0$ 时，约去 $p$ 并分离变量，得
$$\frac{\mathrm{d}p}{p}=\frac{\mathrm{d}y}{y}.$$
两端积分，得
$$\ln |p|=\ln |y|+C$$
即
$$p=C_{1}y或y^{\prime }=C_{1}y(C_1=\pm {\mathrm{e}}^C)$$
再分离变量并两端积分，便得原方程得通解为
$$\ln |y|=C_{1}x+C_2^{\prime },$$
或
$$y=C_2{\mathrm{e}}^{C_{1}x}(C_2=\pm {\mathrm{e}}^{C_2^{\prime }}).$$

原文链接：高等数学 7.5可降阶的高阶微分方程