高等数学 4.1 不定积分的概念与性质

一、原函数与不定积分的概念

定义1 如果在区间 $I$ 上，可导函数 $F(x)$ 的导函数为 $f(x)$ ，即对任一 $x\in I$ ，都有
$$F^{\prime }(x)=f(x)或\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x,$$
那么函数 $F(x)$ 就称为 $f(x)$ （或 $f(x)\mathrm{d}x$）在区间 $I$ 上的一个原函数。

例如，因 $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ ，故 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的一个原函数。

原函数存在定理 如果函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，那么在区间 $I$ 上存在可导函数 $F(x)$ ，使对任一 $x\in I$ 都有
$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

简单地说就是：连续函数一定有原函数。

下面还有两点要说明：

第一，如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有原函数，即有一个函数 $F(x)$ ，使对任一 $x\in I$ ，都有 $F^{\prime }(x)=f(x)$ ，那么，对任何常数 $C$ ，显然有
$$[F(x)+C{]}^{\prime }=f(x),$$
即对任何常数 $C$ ，函数 $F(x)+C$ 也是 $f(x)$ 的原函数。这说明，如果 $f(x)$ 有一个原函数，那么 $f(x)$ 就有无限多个原函数。

第二，如果在区间 $I$ 上 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，那么 $f(x)$ 的其他原函数与 $F(x)$ 只差一个常数。当 $C$ 为任意的常数时，表达式
$$F(x)+C$$
就可以表示 $f(x)$ 的任意一个原函数。

定义2 在区间 $I$ 上，函数 $f(x)$ 的带有任意常数项的原函数称为 $f(x)$ （或 $f(x)\mathrm{d}x$）在区间 $I$ 上的不定积分，记作
$$\int f(x)\mathrm{d}x.$$
其中几号 $\int$ 称为积分号，$f(x)$ 称为被积函数，$f(x)\mathrm{d}x$ 称为被积表达式，$x$ 称为积分变量。

由此定义可知，如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数，那么 $F(x)+C$ 就是 $f(x)$ 的不定积分，即
$$\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C.$$

因而不定积分 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 可以表示 $f(x)$ 的任意一个原函数。

从不定积分的定义可知有下述关系：
由于 $\int f(x)\mathrm{d}x$ 是 $f(x)$ 的原函数，所以
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\int f(x)\mathrm{d}x\right]=f(x),$$
或
$$\mathrm{d}\left[\int f(x)\mathrm{d}x\right]=f(x)\mathrm{d}x;$$

又由于 $F(x)$ 是 $F^{\prime }(x)$ 的原函数，所以
$$\int F^{\prime }(x)\mathrm{d}x=F(x)+C,$$
或记作
$$\int \mathrm{d}F(x)=F(x)+C.$$

由此可见，微分运算（以记号 $\mathrm{d}$ 表示）与求不定积分的运算（或简称积分运算，以记号 $\int$ 表示）是互逆的。当记号 $\int$ 与 $\mathrm{d}$ 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数。

二、基本积分表

$$\begin{array}{rl}\int k\mathrm{d}x& =kx+C(k是常数)\\ \int x^{\mu }\mathrm{d}x& =\frac{x^{\mu +1}}{\mu +1}+C(\mu \ne -1)\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{x}& =\ln |x|+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}& =\arctan x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}& =\arcsin x+C\\ \int \cos x\mathrm{d}x& =\sin x+C\\ \int \sin x\mathrm{d}x& =-\cos x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\cos }^{2}x}& =\int {\sec }^{2}x\mathrm{d}x=\tan x+C\\ \int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x}& =\int {\csc }^{2}x\mathrm{d}x=-\cot x+C\\ \int \sec x\tan x\mathrm{d}x& =\sec x+C\\ \int \csc x\cot x\mathrm{d}x& =-\csc x+C\\ \int {\mathrm{e}}^x\mathrm{d}x& ={\mathrm{e}}^x+C\\ \int a^x\mathrm{d}x& =\frac{a^x}{\ln a}+C(a>0且a\ne 1)\end{array}$$

三、不定积分的性质

性质1 设函数 $f(x)$ 及 $\mathrm{g}(x)$ 的原函数存在，则
$$\int [f(x)\pm \mathrm{g}(x)]\mathrm{d}x=\int f(x)\mathrm{d}x\pm \int \mathrm{g}(x)\mathrm{d}x.$$

性质1对有限个函数都是成立的。

性质2 设函数 $f(x)$ 的原函数存在，$k$ 为非零常数，则
$$\int kf(x)\mathrm{d}x=k\int f(x)\mathrm{d}x.$$

原文链接：高等数学 4.1 不定积分的概念与性质