高等数学 1.10 闭区间上连续函数的性质

一、有界性与最大值最小值定理

最大值最小值的概念：

对于在区间 $I$ 上有定义的函数 $f(x)$ ，如果有 $x_0\in I$ 使得对于任一 $x\in I$ 都有

$$f(x)⩽f(x_0)(f(x)⩾f(x_0)),$$

那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的最大值（最小值）。

定理1（有界性与最大值最小值定理）

在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。

注意：如果函数在开区间内连续，或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上不一定有界。

二、零点定理与介值定理

如果 $x_0$ 使 $f(x_0)=0$ ，那么 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的零点。

定理2（零点定理）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)$ 与 $f(b)$ 异号（即 $f(a)\cdot f(b)<0$），则在开区间 $(a,b)$ 上至少有一点 $\xi$ ，使

$$f(\xi )=0.$$

定理3（介值定理）

设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值

$$f(a)=A及f(b)=B,$$

则对于 $A$ 与 $B$ 之间的任意一个数 $C$ ，在开区间 $(a,b)$ 内至少有一点 $\xi$