在定积分的应用中，经常采用所谓的元素法。为了说明这种方法，先回顾一下曲边梯形的面积问题。
设 f ( x ) f(x) f(x) 在区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续且 f ( x ) ⩾ 0 f(x) \geqslant 0 f(x)⩾0 ，求以曲线 y = f ( x ) y = f(x) y=f(x) 为曲边、底为 [ a , b ] [a, b] [a,b] 的曲边梯形的面积 A A A 。把这个面积 A A A 表示为定积分
A = ∫ a b f ( x ) d x A = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x A=∫abf(x)dx
的步骤是
（1）用任意一组分点吧区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 分成长度为 Δ x i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) \Delta x_i (i = 1, 2, \cdots, n) Δxi(i=1,2,⋯,n) 的 n n n 个小区间，相应地把曲边梯形分成 n n n 个窄曲边梯形，第 i i i 个窄曲边梯形的面积设为 Δ A i \Delta A_i ΔAi ，于是有
A = ∑ i = 1 n Δ A i A = \sum_{i = 1}^n \Delta A_i A=i=1∑nΔAi
（2）计算 Δ A i \Delta A_i ΔAi 的近似值
Δ A i ≈ f ( ξ i ) Δ x i ( x i − 1 ⩽ ξ i ⩽ x i ) \Delta A_i \approx f(\xi_i) \Delta x_i \quad (x_{i - 1} \leqslant \xi_i \leqslant x_i) ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi−1
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