高等数学 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判定法

定理1 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 内可导。
（1）如果在 $(a,b)$ 内 $f^{{}^{\prime }}(x)⩾0$ 且等号仅限在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加。
（2）如果在 $(a,b)$ 内 $f^{{}^{\prime }}(x)⩽0$ 且等号仅限在有限多个点处成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少。

如果函数 $y=f(x)$ 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数 $y=f(x)$ 的定义区间，就能保证 $f^{{}^{\prime }}(x)$ 在各个部分区间内保持固定符号，因而函数 $y=f(x)$ 在每个部分区间上单调。

二、曲线的凹凸性与拐点

定义 设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1,x_2$ 恒有
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$
那么称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有
$$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$$
那么称 $y=f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

如果函数 $f(x)$ 在 $I$ 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理

定理 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在 $(a,b)$ 内 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的；
（2）若在 $(a,b)$ 内 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的。

一般地，设 $y=f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，$x_0$ 是 $I$ 内的点。如果曲线 $y=f(x)$ 在经过点 $(x_0,f(x_0))$ 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 $(x_0,f(x_0))$ 为这曲线的拐点。

我们可以按以下步骤来判定区间 $I$ 上的连续曲线 $y=f(x)$ 的拐点：
（1）求 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)$;
（2）令 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)=0$ ，解出这个方程在区间 $I$ 内的实根，并求出在区间 $I$ 内 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)$ 不存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 $x_0$ ，检查 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)$ 在 $x_0$ 左、右两侧邻近的符号，那么当两侧符号相反时，点 $(x_0,f(x_0))$ 是拐点，当两侧符号相同时，点 $(x_0,f(x_0))$ 不是拐点。

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