高等数学 1.5极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小。
注：有限个无穷小之和也是无穷小

定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论：常数与无穷小的乘积是无穷小

推论：有限个无穷小的乘积是无穷小。

定理3：如果 $\lim f(x)=A,\lim \mathrm{g}(x)=B$ ，那么
（1）$\lim [f(x)\pm \mathrm{g}(x)]=\lim f(x)+\lim \mathrm{g}(x)=A\pm B$ ；
（2）$\lim [f(x)\cdot \mathrm{g}(x)]=\lim f(x)\cdot \lim \mathrm{g}(x)=A\cdot B$ ；
（3）若又有 $B\ne 0$ ，则 $\lim \frac{f(x)}{\mathrm{g}(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim \mathrm{g}(x)}=\frac{A}{B}$ 。

定理3中的（1）、（2）可以推广到有限个函数的情形。例如，如果 $\lim f(x)$ 、 $\lim \mathrm{g}(x)$ 、$\lim h(x)$ 都存在，则有
$$\begin{array}{rl}\lim [f(x)+\mathrm{g}(x)+h(x)]& =\lim f(x)+\lim \mathrm{g}(x)+\lim h(x),\\ \lim [f(x)\cdot \mathrm{g}(x)\cdot h(x)]& =\lim f(x)\cdot \lim \mathrm{g}(x)\cdot \lim h(x).\end{array}$$

推论：如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $c$ 为常数，那么
$$\lim [cf(x)]=c\lim f(x)$$

推论：如果 $\lim f(x)$ 存在，而 $n$ 为正整数，那么
$$\lim [f(x){]}^n=[\lim f(x){]}^n$$

定理4：设有数列 { x n } \{ x_n \} {xn​} 和 { y n } \{ y_n \} {yn​} .如果
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A,\underset{n\to \infty }{\lim }=B,$$
那么
（1）$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\pm y_n)=A\pm B$ ；
（2）$\underset{n\to \infty }{\lim }(x_n\cdot y_n)=A\cdot B$ ；
（3）当 $y_n\ne 0(n=1,2,\cdots )$ 且 $B\ne 0$ 时，$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_n}{y_n}=\frac{A}{B}$ .

定理5：如果 $\phi (x)⩾\psi (x)$ ，而 $\lim \phi (x)=A,\psi (x)=B$ ，那么 $A⩾B$ 。

例1 求 $\underset{x\to 1}{\lim }(2x-1)$ .
解：$\underset{x\to 1}{\lim }(2x-1)=\underset{x\to 1}{\lim }2x-\underset{x\to 1}{\lim }1=2\underset{x\to 1}{\lim }x-1=2-1=1$

例2 求 $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2-5x+3}$
解：这里分母的极限不为零，故
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-1}{x^2-5x+3}& =\frac{\underset{x\to 2}{\lim }(x^3-1)}{\underset{x\to 2}{\lim }(x^2-5x+3)}\\ & =\frac{\underset{x\to 2}{\lim }{x}^3-1}{\underset{x\to 2}{\lim }{x}^2-5\underset{x\to 2}{\lim }x+3}\\ & =\frac{(\underset{x\to 2}{\lim }x{)}^3-1}{(\underset{x\to 2}{\lim }x{)}^2-5\cdot 2+3}\\ & =\frac{2^3-1}{2^2-10+3}=-\frac{7}{3}.\end{array}$$

从上面两个例题中可以看出，求 有理函数（多项式） 或 有理分式函数 当 $x\to x_0$ 的极限时，只要把 $x_0$ 代替函数中的 $x$ 就行了（对于有理分式函数，需假定这样代入后分母不等于零）。

事实上，设多项式
$$f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n$$
则
$$\begin{array}{rl}\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)& =\underset{x\to x_0}{\lim }(a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+\cdots +a_n)\\ & =a_0(\underset{x\to x_0}{\lim }x{)}^n+a_1(\underset{x\to x_0}{\lim }x{)}^{n-1}+\cdots +\underset{x\to x_0}{\lim }{a}_n\\ & =a_0{x}_0^n+a_1{x}_0^{n-1}+\cdots +a_n\\ & =f(x_0)\end{array}$$

又设有理分式函数
$$F(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$
其中 $P(x),Q(x)$ 都是多项式，于是
$$\underset{x\to x_0}{\lim }P(x)=P(x_0),\underset{x\to x_0}{\lim }Q(x)=Q(x_0);$$
如果 $Q(x_0)\ne 0$ ，那么
$$\underset{x\to x_0}{\lim }F(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{\underset{x\to x_0}{\lim }P(x)}{\underset{x\to x_0}{\lim }Q(x)}=\frac{P(x_0)}{Q(x_0)}=F(x_0).$$
但必须注意：若 $Q(x_0)=0$ ，则关于上的极限的运算法则不能应用，需要特别考虑。

例3 求 $\underset{x\to 3}{\lim }=\frac{x-3}{x^2-9}$
解：当 $x\to 3$ 时，分子及分母的极限都是零，于是分子分母不能分别取极限。因分子及分母有公因子 $x-3$ ，而 $x\to 3$ 时，$x\ne 3,x-3\ne 0$ ，可以约去这个不为零的公因子。所以
$$\underset{x\to 3}{\lim }=\frac{x-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }=\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$$

例4 求 $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-3}{x^2-5x+4}$ .
解：因为分母的极限 $\underset{x\to 1}{\lim }(x^2-5x+4)=1^2-5\cdot 1+4=0$ ，不能应用商的极限的运算法则，但因
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-5x+4}{2x-3}=\frac{1^2-5\cdot 1+4}{2\cdot 1-3}=0$$
可得
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-3}{x^2-5x+4}=\infty .$$

例5 求 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}$ .
解：先用 $x^3$ 去除分子及分母，然后取极限，得
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^3+4x^2+2}{7x^3+5x^2-3}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{4}{x}+\frac{2}{x^3}}{7+\frac{5}{x}-\frac{3}{x^3}}=\frac{3}{7},$$
这是因为
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x^n}=a\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x^n}=a{\left(\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}\right)}^n=0$$
其中 $a$ 为常数，$n$ 为正整数，$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$ .

例6 求 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{2x^3-x^2+5}$ .
解：先用 $x^3$ 去除分子和分母，然后取极限，得
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{2x^3-x^2+5}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-\frac{2}{x^2}-\frac{1}{x^3}}{2-\frac{1}{x}+\frac{5}{x^3}}=\frac{0}{2}=0.$$

例7 求 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3-x^2+5}{3x^2-2x-1}$ .
解：应用例6的结果及相关定理，可得
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3-x^2+5}{3x^2-2x-1}=\infty .$$

例5、例6、例7是下列一般情形的特例，即当 $a_0\ne 0,b_0\ne 0$ ，$m$ 和 $n$ 为非负整数时，有
$$\underset{x\to \infty }{\lim }=\frac{a_0{x}^m+a_1{x}^{m-1}+\cdots +a_m}{b_0{x}^n+{ｂ}_1{x}^{n-1}+\cdots +b_n}=\{\begin{array}{ll}0,& 当n>m,\\ \frac{a_0}{b_0},& 当n=m,\\ \infty ,& 当n<m.\end{array}$$

例8 求 $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}$ .
解：当 $x\to \infty$ 时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用。如果把 $\frac{\sin x}{x}$ 看做 $\sin x$ 与 $\frac{1}{x}$ 的乘积，由于 $\frac{1}{x}$ 当 $x\to \infty$ 时为无穷小，而 $\sin x$ 是有界函数，则根据定理有
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\sin x}{x}=0.$$

定理6（复合函数的极限运算法则） ：设函数 $y=f[\mathrm{g}(x)]$ 是由函数 $u=\mathrm{g}(x)$ 与函数 $y=f(u)$ 复合而成，$f[\mathrm{g}(x)]$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义，若 $\underset{x\to x_0}{\lim }\mathrm{g}(x)=u_0,\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A$ ，且存在 ${\delta }_0>0$ ,当 $x\in \mathring{U}(x_0,{\delta }_0)$ 时，有 $\mathrm{g}(x)\ne u_0$ ，则
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f[\mathrm{g}(x)]=\underset{u\to u_0}{\lim }f(u)=A.$$

原文链接：高等数学 1.5极限运算法则