高等数学 3.1 微分中值定理

一、罗尔定理

费马引理 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，并且在 $x_0$ 处可导，如果对任意的 $x\in U(x_0)$ ，有
$$f(x)⩽f(x_0)(或f(x)⩾f(x_0)),$$
那么 $f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$ .

证明：不妨设 $x\in U(x_0)$ 时，$f(x)⩽f(x_0)$ （如果 $f(x)⩾f(x_0)$ ，可类似地证明）。于是，对于 $x_0+\Delta x\in U(x_0)$ ，有
$$f(x_0+\Delta x)⩽f(x_0),$$
从而当 $\Delta x>0$ 时
$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}⩽0;$$
当 $\Delta x<0$ 时，
$$\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}⩾0.$$
根据函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 可导的条件及极限的保号性，便得到
f ′ ( x 0 ) = f + ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 + f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ⩽ 0 , f ′ ( x 0 ) = f − ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 − f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x ⩾ 0. \begin{align*} f^{'}(x_0) &= f^{'}_{+}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \cfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \leqslant 0 , \\ f^{'}(x_0) &= f^{'}_{-}(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \cfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \geqslant 0 . \end{align*} f′(x0​)f′(x0​)​=f+′​(x0​)=Δx→0