高等数学 3.7 曲率

一、弧微分

设函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 内具有连续导数。在曲线 $y=f(x)$ 上取固定点 $M_0(x_0,y_0)$ 作为度两户唱的基点，并规定依 $x$ 增大的方向为曲线的正向。对曲线上任一点 $M(x,y)$ ，规定有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的值 $s$（简称为弧 $s$）如下：$s$ 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段 $\stackrel{⌢}{M_{0}M}$ 的方向与曲线的正向一致时 $s>0$ ，相反时 $s<0$ 。显然，弧 $s$ 与 $x$ 存在函数关系 $s=s(x)$ ，而且 $s(x)$ 是 $x$ 的单调增加函数。

设 $x,x+\Delta x$ 为 $(a,b)$ 内两个邻近的点，它们在曲线 $y=f(x)$ 上的对应点为 $M,M^{\prime }$ ，并设对应于 $x$ 的增量为 $\Delta x$ ，弧 $s$ 的增量为 $\Delta s$ ，那么
$$\Delta s=\stackrel{⌢}{M_0{M}^{\prime }}-\stackrel{⌢}{M_{0}M}=\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}$$
于是
$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{\Delta s}{\Delta x}\right)}^2& =\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{\Delta x}\right)={\left(\frac{\stackrel{⌢}{M{M}^{\prime }}}{|M{M}^{\prime }|}\right)}^2\cdot \frac{}{(\Delta x{)}^2}\\ & \\ \frac{\Delta s}{\Delta x}& \end{array}$$