高等数学 7.3 齐次方程

一、齐次方程

如果一阶微分方程可化成
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$
的形式，那么就称这方程为齐次方程。

在齐次方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$$
中，引入新的未知函数
$$u=\frac{y}{x}\text{\hspace{1em}(2)}$$
就可以把它化为可分离变量的方程。因为由 $(2)$ 有
$$y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$
代入方程 $(1)$ 便得方程
$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\phi (u)$$
即
$$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\phi (u)-u$$
分离变量,得
$$\frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$
两端积分，得
$$\int \frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}$$
求出积分后，再以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$ ，便得所给齐次方程的通解。

例1 解方程 $y^2+x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=xy\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ .
解：原方程可写成
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y^2}{xy-x^2}=\frac{{\left(\frac{y}{x}\right)}^2}{\frac{y}{x}-1},$$
因此是齐次方程。令 $\frac{y}{x}=u$，则
$$y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$$
于是原方程变为
$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{u^2}{u-1}$$
即
$$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{u}{u-1}$$
分离变量，得
$$\left(1-\frac{1}{u}\right)\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$
两端积分，得
$$u-\ln |u|+C_1=\ln |x|$$
或写为
$$\ln |xu|=u+C_1$$
以 $\frac{y}{x}$ 代上式中的 $u$ ，便得所给方程的通解为
$$\ln |y|=\frac{y}{x}+C_1或y=C{\mathrm{e}}^{\frac{y}{x}}(C=\pm {\mathrm{e}}^{C_1}).$$

*二、可化为齐次的方程

方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}\text{\hspace{1em}(3)}$$
当 $c=c_1=0$ 时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令
$$x=X+h,y=Y+k,$$
其中 $h$ 及 $k$ 是待定的常数。于是
$$\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y,$$
从而方程 $(3)$ 成为
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{a_{1}X+b_{1}Y+a_{1}h+b_{1}k+c_1}$$
如果方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}ah+bk+c=0\\ a_{1}h+b_{1}k+c_1=0\end{array}\end{array}$$
的系数行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a_1& b_1\end{array}\right|\ne 0$，即 $\frac{a_1}{a}\ne \frac{b_1}{b}$ ，那么可以定出 $h$ 及 $k$ 使它们满足上述方程组。这样，方程 $(3)$ 便化为齐次方程
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY}{a_{1}X+b_{1}Y}.$$
求出这齐次方程的通解后，在通解中以 $x-h$ 代 $X$ ，$y-k$ 代 $Y$ ，，便得方程 $(3)$ 的通解。

当 $\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}$ 时，$h$ 及 $k$ 无法求得，因此上述方法不能应用。但这是令 $\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda$ ，从而方程 $(3)$ 可写成
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{\lambda (ax+by)+c_1}.$$
引入新变量 $v=ax+by$，则
$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=a+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}或\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a\right).$$
于是方程 $(3)$ 称为
$$\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a\right)=\frac{v+c}{\lambda v+c_1},$$
这是可分离变量的方程。

以上介绍的方法可以应用于更一般的方程
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}\right)$$

例2 解方程 $(2x+y-4)\mathrm{d}x+(x+y-1)\mathrm{d}y=0$ .
解：令 $x=X+h,y=Y+k$ ，则 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y$ ，代入原方程得
$$(2X+Y+2h+k-4)\mathrm{d}X+(X+Y+h+k-1)\mathrm{d}Y=0$$
解方程组
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{l}2h+k-4=0\\ h+k-1=0\end{array}\end{array}$$
得 $h=3,k=-2$ .令 $x=X+3,y=Y-2$，原方程成为
$$(2X+Y)\mathrm{d}X+(X+Y)\mathrm{d}Y=0$$
或
$$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=-\frac{2X+Y}{X+Y}=-\frac{2+\frac{Y}{X}}{1+\frac{Y}{X}},$$
这是齐次方程。
令 $\frac{Y}{X}=u$ ，则 $Y=Xu,\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=u+X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}$ ，于是方程变为
$$u+X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}=-\frac{2+u}{1+u},$$
或
$$X\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}X}=-\frac{2+2u+u^2}{1+u}.$$
分离变量得
$$\frac{\mathrm{d}X}{X}=-\frac{u+1}{2+2u+u^2}\mathrm{d}u.$$
积分得
$$\ln C_1-\frac{1}{2}\ln (u^2+2u+2)=\ln |X|,$$
于是
$$\frac{C_1}{\sqrt{u^2+2u+2}}=|X|$$
或
$$C_2=X^2(u^2+2u+2)(C_2=C_1^2),$$
即
$$Y^2+2XY+2X^2=C_2.$$
以 $X=x-3,Y=y+2$ 代入上式并化简，得
$$2x^2+2xy+y^2-8x-2y=C(C=C_2-10).$$

原文链接：高等数学 7.3 齐次方程