高等数学 2.1 导数概念

一、导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ （点 $x_0+\Delta x$ 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ；如果 $\Delta y$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta \to 0$ 时的极限存在，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称这个极限为函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记为 $f^{\prime }(x_0)$ ，即
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x},\text{\hspace{1em}(1)}$$
也可记作 ${y^{\prime }|}_{x=x_0}$ ，${\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}|}_{x=x_0}$ ，${\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}|}_{x\to x_0}$ .

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导有时也说成 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处具有导数或导数存在。

导数的定义式（1）也可以取不同的形式，常见的有
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\text{\hspace{1em}(2)}$$
和
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\text{\hspace{1em}(3)}$$

如果极限 （1）不存在就说函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处不可导。如果不可导的原因是由于 $\Delta x\to 0$ 时，比式 $\frac{\Delta y}{\Delta x}\to \infty$ ，为了方便起见，也往往说函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大。

上面讲的是函数在一点处可导。如果函数 $y=f(x)$ 在开区间 $I$ 内每点处都可导，那么就称函数 $y=f(x)$ 在开区间 $I$ 内可导。这时，对于任一 $x\in I$ ，都对应着 $f(x)$ 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数 $y=f(x)$ 的导函数，记作 $y^{\prime }$ ，$f^{\prime }(x)$ ，$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 。

在（1）式或（2）式中把 $x_0$ 换成 $x$ ，即得导函数的定义式：
$$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$
或
$$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$

注意：在以上两式中，虽然 $x$ 可以取区间 $I$ 内的任何数值，但在极限过程中，$x$ 是常量，$\Delta x$ 或 $h$ 是变量。

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 就是导函数 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x=x_0$ 处的函数值，即
$$f^{\prime }(x_0)={f^{\prime }(x)|}_{x=x_0}.$$

导函数 $f^{\prime }(x)$ 简称导数，而 $f^{\prime }(x_0)$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数或导数 $f^{\prime }(x)$ 在点 $x_0$ 处的值。

单侧导数

根据函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 的定义，导数
$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 $f-(x_0)$ 存在即 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左、右极限
$$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}及\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$
都存在且相等。这两个极限分别称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的左导数和右导数，记作 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 及 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ ，即
$$\begin{gathered} f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}, \\ {f}_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \end{gathered}$$
现在可以说，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是左导数 $f_{-}^{\prime }(x_0)$ 及右导数 $f_{+}^{\prime }(x_0)$ 都存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数 $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 内可导，且 $f_{+}^{\prime }(a)$ 及 $f_{-}^{\prime }(b)$ 都存在，那么就说 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上可导。

二、导数的几何意义

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime }(x_0)$ 在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处的切线的斜率，即
$$f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$$
其中 $\alpha$ 是切线的倾角。

如果 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大，那么这时曲线 $y=f(x)$ 的割线以垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0$ 为极限位置，即曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,f(x_0))$ 处具有垂直于 $x$ 轴的切线 $x=x_0$ .

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 $y=f(x)$ 在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线方程为
$$y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$
过切点 $M(x_0,f(x_0))$ 且与切线垂直的直线叫做曲线 $y=f(x)$ 在点 $M$ 处的法线。如果 $f^{\prime }(x_0)\ne 0$ ，法线的斜率为 $-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$ ，从而法线方程为
$$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$$

例 求等边双曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2},2\right)$ 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解：根据导数的几何意义知道，所求切线斜率为
$$k_1={y^{\prime }|}_{x=\frac{1}{2}}$$
由于 $y^{\prime }={\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$ ，于是
$$k_1={-\frac{1}{x^2}|}_{x=\frac{1}{2}}=-4$$
从而所求切线方程为
$$y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right),即4x+y-4=0$$
所求法线斜率为
$$k_2=-\frac{1}{k_1}=\frac{1}{4}$$
于是所求法线方程为
$$y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right),即2x-8y+15=0$$

例 求曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 的通过点 $(0,-4)$ 的切线方程。
解：设切点为 $(x_0,y_0)$ ，则切线的斜率为
$$f^{\prime }(x_0)={\frac{3}{2}\sqrt{x}|}_{x=x_0}=\frac{3}{2}\sqrt{x_0}.$$
于是所求切线方程可设为
$$y-y_0=\frac{3}{2}\sqrt{x_0}(x-x_0)\text{\hspace{1em}(4)}$$
因切点 $(x_0,y_0)$ 在曲线 $y=x^{\frac{3}{2}}$ 上，所以有
$$y_0=x_0^{\frac{3}{2}}\text{\hspace{1em}(5)}$$
一直切线通过点 $(0,-4)$ ，故有
$$-4-y_0=\frac{3}{2}\sqrt{x_0}(0-x_0)\text{\hspace{1em}(6)}$$
联立（5）和（6）可解得 $x_0=4,y_0=8$ ，代入（4）并化简。得所求切线方程为
$$3x-y-4=0$$

三、函数可导性与连续性的关系

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，即
$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x)$$
存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，
$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime }(x)+\alpha ,$$
其中 $\alpha$ 为当 $\Delta x\to 0$ 时的无穷小。上式两边同乘 $\Delta x$ ，得
$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+\alpha \Delta x$$
由此可见，当 $\Delta x\to 0$ 时，$\Delta y\to 0$ .这就是说，函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处是连续的。

所以，如果函数 $y=f(x)$ 在点 $x$ 处可导，那么函数在该点必连续。
另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

例 函数 $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在区间 $(-\infty ,\infty )$ 内连续，但在点 $x=0$ 处不可导。这是因为在点 $x=0$ 处有
$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt[3]{h}-0}{h}=\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}},$$
因而，$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h^{\frac{2}{3}}}=+\infty$ ，即导数为无穷大（注意，导数不存在）。这一事实在图形中表现为曲线 $y=\sqrt[3]{x}$ 在原点 $O$ 具有垂直于 $x$ 轴的切线 $x=0$ .

例 函数 $y=\sqrt{x^2}$ （即 $y=|x|$）在 $(-\infty ,\infty )$ 内连续，但这个函数在 $x=0$ 处不可导。曲线 $y=\sqrt{x^2}$ 在原点 $O$ 没有切线。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

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