狄利克雷卷积证明莫比乌斯反演

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本文介绍了数论函数的卷积运算及其性质，并详细解释了莫比乌斯函数的概念及其作为卷积意义下的逆元的重要性。此外，还深入探讨了莫比乌斯反演原理。

首先定义几个概念：

1，卷积：
设 f,g 是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算 $f\ast g$ 定义为
$(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}$
可以证明，卷积运算满足：
1）交换律： $f\ast g=g\ast f$
由定义显然。

2）结合律： $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$
考察两边作用在上，左边是
$\begin{align} ((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\ &= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}$
右边是
$\begin{align} (f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\ &= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align}$
故两边相等。

3）存在单位元 $\iota$ 使得 $\iota \ast f=f$
我们需要
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)$
故不难猜到 $\iota$ 应该定义为 $\iota(n)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq1 \end{cases}$
事实上，直接验证可得
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)$

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元
上面的 $\iota$ 是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法 (fg)(n):=f(n)g(n) 意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作。

3，莫比乌斯函数 $\mu$ 在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说 $\mu$ 是满足
$u\ast\mu=\iota$
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
$\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)$ …………(*)

通常，莫比乌斯函数 $\mu$ 定义为
$\mu(1)=1$ ；
$\mu(n)=(-1)^k$ ，如果能写成个不同素数之积；
$\mu(n)=0$ ，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于 n=1 ，(*)式成立；
对于 $n\neq1$ ，用算术基本定理把写成
$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$
于是
$\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align}$

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？
$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$
当且仅当
$g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)f(d)$
换而言之，
$f = g\ast u \Leftrightarrow g = f\ast\mu$

证明：

$\begin{align} f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g \end{align}$

反之

$\begin{align} g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\ \Rightarrow& g\ast u=f \end{align}$