莫比乌斯反演证明

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首先定义几个概念：

1，卷积：
设 f,g

是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算 $f\ast g$ 定义为
$(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}$
可以证明，卷积运算满足：
1）交换律： $f\ast g=g\ast f$
由定义显然。

2）结合律： $(f\ast g)\ast h=f\ast(g\ast h)$
考察两边作用在

上，左边是
$\begin{align}((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\&= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\&= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k)\end{align}$
右边是
$\begin{align}(f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\&= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\&= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k)\end{align}$
故两边相等。

3）存在单位元 $\iota$ 使得 $\iota \ast f=f$
我们需要
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n)$
故不难猜到 $\iota$ 应该定义为 $\iota(n)=\begin{cases}1&n=1\\0&n\neq1\end{cases}$
事实上，直接验证可得
$(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n)$

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

2，乘法单位元

上面的 $\iota$ 是数论函数在卷积意义下的单位元，而普通乘法 (fg)(n):=f(n)g(n)

意义下的单位元显然是把所有自然数都映到1的函数，记作

。

3，莫比乌斯函数 $\mu$

在卷积意义下的逆元，称为莫比乌斯函数。也就是说 $\mu$ 是满足
$u\ast\mu=\iota$
的唯一的数论函数。
把这个表达式写开就是
$\sum_{d\mid n}\mu(d)=\iota(n)$ …………(*)

通常，莫比乌斯函数 $\mu$ 定义为
$\mu(1)=1$ ；
$\mu(n)=(-1)^k$ ，如果

能写成

个不同素数之积；
$\mu(n)=0$ ，其他情况。

按照这种定义不难证明(*)式。
对于 n=1

，(*)式成立；
对于 $n\neq1$ ，用算术基本定理把

写成
$n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$
于是
$\begin{align}\sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\=& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\=&(1-1)^k=0\end{align}$

现在来看看莫比乌斯反演说的是什么呢？
$f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)$
当且仅当
$g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{d}{n}\right)f(d)$
换而言之，
$f = g\ast u\Leftrightarrow g = f\ast\mu$

证明：
$\begin{align}f=g\ast u \Rightarrow& f\ast \mu=(g\ast u)\ast \mu \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast(u\ast\mu) \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\ast\iota \\ \Rightarrow& f\ast\mu=g\end{align}$
反之
$\begin{align}g=f\ast\mu \Rightarrow& g\ast u=(f\ast\mu)\ast u \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast(\mu\ast u) \\ \Rightarrow& g\ast u=f\ast\iota \\ \Rightarrow& g\ast u=f\end{align}$