进阶数论第二弹：狄利克雷卷积和莫比乌斯反演

1.狄利克雷卷积

定义：对于两个数论函数$f,g$,定义它们的卷积为h

$$h=f\times g=\sum _{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$$

其中，$\times$是新运算“卷积”，而不是乘号。

应用：利用它，我们可以推式子（废话）和杜教筛

例如：

$$\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{d|n}\phi (d)\ast I(\frac{n}{d})=（\phi \times I）(n)=n=id(n)$$
所以
$$\phi \times I=id$$

2.莫比乌斯反演

$$\begin{array}{rl}\text{莫比乌斯反演公式如下:}& \\ & F(n)=\sum _{d|n}f(d)\\ ⟺& f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})\end{array}$$

其中 $\mu (d)$是莫比乌斯函数，它的定义如下：
$$\mu (d)=\{\begin{array}{ll}1& d=1\\ (-1{)}^k& d=p_1{p}_2{p}_3\cdots p_k\\ 0& \text{其他情况}\end{array}$$

由定义可知，$\mu (d)$有一个$\text{很重要}$的性质：
$$
\sum_{d|n}{\mu(d)}=

\begin{cases}
1 &d=1\
0 &d>1\
\end{cases}
$$

用狄利克雷卷积可表示为：

$$\mu \ast I=ϵ$$

那么，我们就可以来证明一下莫比乌斯反演公式
$$\begin{array}{r}\\ \\ ⟺\end{array}$$