母函数推导斐波那契数列通项公式

$f(i)=f(i-1)+f(i-2)$
$f(0)=0,f(1)=1$

$F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+f(3)x^3+...$
$F(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty} f(i)x^i$

$F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...$
$xF(x)= f(0)x+f(1)x^2+...$
$x^2F(x)= f(0)x^2+...$

$F(x)=xF(x)+x^2F(x)+x$
解得：
$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}=\frac{-x}{-1+x+x^2}=\frac{-x}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}(\lambda_1和\lambda_2是原方程的两个根)=\frac{A}{x-\lambda_1}+\frac{B}{x-\lambda_2}$
通分 $F(x)=\frac{A(x-\lambda_2)+B(x-\lambda_1)}{(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)}$
所以 $Ax-A\lambda_2+Bx-B\lambda_1=-x$
对系数列方程：
$A+B=-1$
$-A\lambda_2-B\lambda_1=0$
$这样可以解出A,B$
$F(x)=\frac{A}{x-\lambda_1}+\frac{B}{x-\lambda_2}=\frac{-A}{\lambda_1-x}+\frac{-B}{\lambda_2-x}=\frac{-A}{\lambda_1(1-\frac{x}{\lambda_1})}+\frac{-B}{\lambda_2(1-\frac{x}{\lambda_2})}=\frac{-A}{\lambda_1}\frac{1}{1-\frac{x}{\lambda_1}}+\frac{-B}{\lambda_2}\frac{1}{1-\frac{x}{\lambda_2}}$
$因为 \sum\limits_{i=0}^{\infty}x^i=\frac{1}{1-x}$
$所以令 x=\frac{x}{\lambda_1}和\frac{x}{\lambda_2}$
$有 F(x)=\frac{-A}{\lambda_1}(1+\frac{x}{\lambda_1}+(\frac{x}{\lambda_1})^2+...)+\frac{-B}{\lambda_2}(1+\frac{x}{\lambda_2}+(\frac{x}{\lambda_2})^2+...)$
$又 F(x)=f(0)+f(1)x+f(2)x^2+...$
所以系数对应：
$f(i)=(-A)(\frac{1}{\lambda_1})^i+(-B)(\frac{1}{\lambda_2})^i$