【JZOJ 5413】【NOIP2017提高A组集训10.22】清兰

Description

Solution

结论1：m个点不一定全部用完，多余的可以插到末尾去，相当于没有；
结论2：对于一个区间，如果插入k个，那么最优的情况一定是均分（荷西不等式）；
结论3：一个区间的最少插入个数为：（设$ALLd=\sum|a_i-a_{i-1}|$）

$$\min(|\frac{a_i-{a_{i-1}}}{L}|,\frac{|a_i-{a_{i-1}}|*m}{ALLd})$$

这三个结论题解说都很好猜（懵），
根据这个结论，可以初步给每个位置进行操作，
那么对于剩下的机会，考虑怎样对答案最优，
首先，对于两个，它们的代价都是互不影响的，
设这个区间的差为d，插入了k个，那么它的贡献为：

$$k(\frac{d}{k}-L)^2=\frac{d^2}{k}-2dL+kL^2$$
对于k和k+1作一个差，则从k到k+1需要把答案加上：
$$-\frac{d^2}{k(k+1)}+L^2$$
这个值显然要小于0，这样才对答案有利，

娜那就贪心，每次在堆中查找全局找到最小的，把答案加上，再把k+1的贡献加入堆中，

（复杂度并不会证明）
复杂度：$O(n\log(n))$

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
#define DT(d,k) (L*L-(d)*(d)/(k)/((k)+1))
#define abs(q) ((q)>0?(q):(-(q)))
using namespace std;
typedef double db;
const int N=50500;
int m,n;
db a[N];
db L,ans;
struct qqww
{
    db d,k,v;
    friend bool operator <(qqww q,qqww w){return q.v>w.v;}
};
priority_queue<qqww>d;
int main()
{
    int q,w;db ALL=0;
    scanf("%d%d%lf",&n,&m,&L);
    if(L==0)L=0.00000000000000000001;
    fo(i,1,n)scanf("%lf",&a[i]),ALL+=abs(a[i]-a[i-1]);
    ALL-=abs(a[1]);
    ans=w=0;
    fo(i,2,n)
    {
        db d1=abs(a[i]-a[i-1]);
        q=min(abs(d1/L),d1*m/ALL);
        if(q<1)q=1;
        w+=q-1;
        qqww t;
        t.d=a[i]-a[i-1];t.k=q;
        t.v=DT(d1,q);
        d.push(t);
        ans+=t.k*(t.d/t.k-L)*(t.d/t.k-L);
    }
    for(m-=w;m;m--)
    {
        qqww t=d.top();d.pop();
        if(t.v>=0)break;
        ans+=t.v;
        t.k++;
        t.v=DT(t.d,t.k);
        d.push(t);
    }
    printf("%.3lf\n",ans);
    return 0;
}