线性求子序列最大平均值

最新推荐文章于 2024-08-13 16:13:34 发布

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#平均数 #斜率优化 #斜率

Description

给出长度为n的正整数序列，要求在所有长度大于m的连续的子序列中的最大的平均值。
$n<=10^7$

Solution

如果是 $n\log(n)$ 的话就是一道大水题，直接二分答案即可，
但现在 $n<=10^7$ ，必须要线性的做法，
来看一下怎么求平均值，
做完前缀和以后，l~r的平均值就是：

s u m r - s u m l - 1 r - l + 1

$\frac{sum_r-sum_{l-1}}{r-l+1}$
观察一下，发现这个非常的像斜率，

于是，问题就变形成了：
我们有一堆上升的点，要在这些点中找出两个横坐标差大于m的点，使得的斜率最大。

考虑加上斜率优化的思想：
我们先来维护一个队列，使得这个队列中，相邻的两个点的斜率单调上升，
因为我们可以证明，如果有一个点X，X与X前面的点Z的斜率小于X与X后面的点Y，
这里写图片描述
那么无论如何，X的斜率都不是最优的，所以点X可以删掉；

同样可以证明，如果队列中连续两个点 $X,Y$ ，有一点Z，如果Y,Z的斜率大于X,Z的斜率，那么X在之后的操作中都不可能是最优的了，可以永久的删掉，

复杂度： $O(n)$

Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define max(q,w) ((q)>(w)?(q):(w))
using namespace std;
typedef double db;
const int N=1000500;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int n,m;
int a[N];
db ans;
int d[N],S,T;
db D(int q,int w){return 1.0*(a[w]-a[q])/(w-q);}
int main()
{
    int q,w;
    read(n),read(m);
    fo(i,1,n)a[i]=a[i-1]+read(a[i]);
    S=T=1;
    fo(i,m,n)
    {
        while(S<T&&D(d[S],i)<=D(d[S+1],i))S++;
        ans=max(ans,D(d[S],i));
        while(S<T&&D(d[T-1],d[T])>=D(d[T],i-m+1))T--;
        d[++T]=i-m+1;
    }
    printf("%.4lf\n",ans);
    return 0;
}