最大平均（和）子序列

最新推荐文章于 2022-10-18 21:13:55 发布

轱辘不方

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文章标签：算法

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给定长度限制k，从一个包含n个数的数组中找出平均值最大的连续子数组。利用二分法转换成求和问题，寻找满足条件的子数组，确保误差在10^(-5)以内。例如，在输入数组[1,12,-5,-6,50,3]和k=4的情况下，最大平均值为12.75。算法分析涉及前缀和、二分枚举和斜率优化。" 132166315,9759529,qSort()中比较函数的使用注意事项,"['qt', '算法', '容器']

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描述
给定n个数的数组，找到所有长度大于等于k的连续子数组中平均值最大的那个。返回那个最大的平均值。
1 <= k <= n <= 10000，数组中的元素在范围[-10000, 10000]之间，最后返回的答案的误差应在10^(-5)以内。

样例
输入：[1,12,-5,-6,50,3], k = 4
输出：12.75

说明
长度为4的子数组中，最大的平均值为12.75，（=(12 + -5 + -6 + 50)/4）
长度为5的子数组中，最大的平均值为10.8，（=(12 + -5 + -6 + 50 + 3)/5）
长度为6的子数组中，最大的平均值为9.16667。（所有数的平均值）
因此返回12.75。

分析
首先，考虑把求平均问题转换为求和问题，实质上是一样的，然后用二分枚举，求出最大和。关键在于转换和二分，二分法此类题通用。求长度大于等于k的最大和子数组比原问题容易的多，令s为b的前缀和子数组，即s(i)=b(0)+b(1)+……+b(i-1)，且s(0)=0，那么b(j)到b(i-1)的区间和可表示为s(i)-s(j)。
找长度大于等于k的最大和子数组等价于找i,j，满足i-j>=k，且使s(i)-s(j)最大。固定i，则要使s(i)-s(j)最大，s(j)应最小，同时也应满足j<=i-k，令p(i) = min{s(j)},j<=i-k，故 i 固定时s(i)-s(j)的最大值为s(i)-p(i)，枚举所有i即可得到最终的最大值。
二分的初始区间可以设置为[min{a(i)},i=0~n-1 , max{a(i)},i=0~n-1]，因为一组数的平均值不会小于这组数的最小值，也不会大于这组数的最大值。对于二分值A，通过前面讲的方法以O(n)的时间判断是否有子数组的平均值大于等于A，若有则答案大于等于A，若没有，则答案小于A。二分至区间长度小于所需精度，即可返回该值。