【51NOD 1149】Pi的递推式

Description

F(x) = 1 (0 <= x < 4)
F(n) = F(n - 1) + F(n - pi) (4 <= x)
Pi = 3.1415926535…..
现在给出一个N,求F(n)。由于结果巨大,只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

Solution

我们先来想一下斐波拉切数列的递推式:fi=fi1+fi2(f0=1,f1=1)
我们发现,问题等价于问从第0级开始走楼梯,一次可以走1或2级,问走到第i级的方案数(1,2与2,1视为不同),
所以这道题也差不多,只是有一个小数罢了,
可以枚举走几个PI,算出走几个1,用C公式搞一波即可,

复杂度:O(n)

Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef double db;
const int N=1e6+50,mo=1e9+7;
int n;
LL ans;
LL jc[N*2],jcn[N*2];
db PI=3.141592653589793238462643383;
LL ksm(LL q,LL w)
{
    LL ans=1;
    while(w)
    {
        if(w&1)ans=(ans*q)%mo;
        q=(q*q)%mo;w>>=1;
    }
    return ans;
}
LL C(int m,int n){return jc[m]*jcn[n]%mo*jcn[m-n]%mo;}
int main()
{
    int q;
    scanf("%d",&n);
    jc[0]=jcn[0]=1;fo(i,1,2*n)jc[i]=jc[i-1]*i%mo;
    jcn[2*n]=ksm(jc[2*n],mo-2);fod(i,2*n-1,1)jcn[i]=jcn[i+1]*(i+1)%mo;
    fo(i,0,(n-4)/PI+1)
    {
        q=max(int(n-(4+PI*(i-1))),0);
        ans=(ans+C(i+q,i))%mo;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
### 关于51Nod平台上编号为1020的问题详情与解答 #### 问题描述 在51Nod平台上的第1020号问题是关于计算两个大整数相加的结果[^1]。给定两个正整数A和B,长度不超过10^6位,要求编写程序来求解这两个数的和。 #### 输入格说明 输入数据由多组测试案例组成;每组测试案例占两行,分别表示要相加的大整数A和B。对于每一组测试案例,应当单独输出一行结果,即A+B的值。 #### 解决方案概述 解决此问题的关键在于处理超大数据类型的运算,在大多数编程语言中内置的数据类型无直接支持如此大规模数值的操作。因此,可以采用字符串的方来存储这些大整数,并实现逐位相加逻辑,同时考虑进位情况。 下面是一个Python版本的具体实现方: ```python def add_large_numbers(a: str, b: str) -> str: # Reverse strings to make addition easier from least significant digit a = a[::-1] b = b[::-1] carry = 0 result = [] max_length = max(len(a), len(b)) for i in range(max_length): digit_a = int(a[i]) if i < len(a) else 0 digit_b = int(b[i]) if i < len(b) else 0 total = digit_a + digit_b + carry carry = total // 10 current_digit = total % 10 result.append(str(current_digit)) if carry != 0: result.append(str(carry)) return ''.join(reversed(result)) if __name__ == "__main__": while True: try: num1 = input().strip() num2 = input().strip() print(add_large_numbers(num1, num2)) except EOFError: break ``` 该代码片段定义了一个函数`add_large_numbers`用于接收两个作为参数传入的大整数(形上为字符串),并返回它们之和同样作为一个字符串。通过反转输入字符串使得最低有效位位于索引位置0处从而简化了按位累加的过程。最后再将得到的结果列表反向拼接成最终答案输出。
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