[51nod 1149]Pi的递推式

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一般动规与递推同时被 2 个专栏收录

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将特定递归问题转化为加法方案计数问题，通过枚举策略计算合法方案的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

F(x)当0<=x<4时等于1，x>=4时等于F(x-1)+F(x-pi)
求F(n)

观察递推式

n<4就输出一，接下来只讨论n>=4的情况
根据观察递推式，我们可以转化问题：
给你一个n，每次可以减一或减pi，直至减到小于4，求方案数。
减看起来不直观，改为加：
从一个0开始，每次加1或加pi，直至加到与n相差在4以内，求方案数。
那么最终结果在(n-4,n]
假如最后一次加了1，那么除去最后一次结果在(n-4-1,n-4]
假如最后一次加了pi，那么除去最后一次结果在(n-4-pi,n-4]
我们枚举除了最后一次加了多少次pi，然后算出加1的次数上限使得总和不超过n-4。
然后不断尝试减小加1的次数，并计算当前在最后一次加1或pi时是否合法，合法就给答案加上一个组合数。
如果连最后一次加pi也不能合法，那么就退出了。
具体见代码，很短

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath> 
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db pi=M_PI;
const int maxn=1000000+10,mo=1000000007;
int fac[maxn],inv[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ans;
int quicksortmi(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=quicksortmi(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
int C(int n,int m){
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mo*inv[n-m]%mo;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    if (n<4){
        printf("1\n");
        return 0;
    }
    fac[0]=1;
    fo(i,1,n) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
    inv[n]=quicksortmi(fac[n],mo-2);
    fd(i,n-1,0) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mo;
    fo(i,0,(int)((db)(n-4)/pi)){
        j=(int)(n-4-pi*i);
        do{
            t=C(j+i,i);
            if (i*pi+j>n-4-1) (ans+=C(j+i,j))%=mo;
            if (i*pi+j>n-4-pi) (ans+=C(j+i,j))%=mo;
            j--;
        }while (i*pi+j>n-4-pi);
    }
    printf("%d\n",ans);
}