题目大意
F(x)当0<=x<4时等于1,x>=4时等于F(x-1)+F(x-pi)
求F(n)
观察递推式
n<4就输出一,接下来只讨论n>=4的情况
根据观察递推式,我们可以转化问题:
给你一个n,每次可以减一或减pi,直至减到小于4,求方案数。
减看起来不直观,改为加:
从一个0开始,每次加1或加pi,直至加到与n相差在4以内,求方案数。
那么最终结果在(n-4,n]
假如最后一次加了1,那么除去最后一次结果在(n-4-1,n-4]
假如最后一次加了pi,那么除去最后一次结果在(n-4-pi,n-4]
我们枚举除了最后一次加了多少次pi,然后算出加1的次数上限使得总和不超过n-4。
然后不断尝试减小加1的次数,并计算当前在最后一次加1或pi时是否合法,合法就给答案加上一个组合数。
如果连最后一次加pi也不能合法,那么就退出了。
具体见代码,很短
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef double db;
const db pi=M_PI;
const int maxn=1000000+10,mo=1000000007;
int fac[maxn],inv[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,ans;
int quicksortmi(int x,int y){
if (!y) return 1;
int t=quicksortmi(x,y/2);
t=(ll)t*t%mo;
if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
return t;
}
int C(int n,int m){
return (ll)fac[n]*inv[m]%mo*inv[n-m]%mo;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
if (n<4){
printf("1\n");
return 0;
}
fac[0]=1;
fo(i,1,n) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mo;
inv[n]=quicksortmi(fac[n],mo-2);
fd(i,n-1,0) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mo;
fo(i,0,(int)((db)(n-4)/pi)){
j=(int)(n-4-pi*i);
do{
t=C(j+i,i);
if (i*pi+j>n-4-1) (ans+=C(j+i,j))%=mo;
if (i*pi+j>n-4-pi) (ans+=C(j+i,j))%=mo;
j--;
}while (i*pi+j>n-4-pi);
}
printf("%d\n",ans);
}