【JZOJ 3053】旅行

最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-10-30 18:00:00 发布 · 1.1k 阅读

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#平均值 #距离

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本文介绍了一种计算给定迷宫中所有可能起点到终点的平均最短路径的方法。利用曼哈顿距离和绕行策略，文章提供了一个O(n²)复杂度的解决方案，适用于障碍物稀疏的场景。

Description

给定一个n行m列的字符矩阵，’.’代表空地，’X’代表障碍。移动的规则是：每秒钟以上下左右四个方向之一移动一格，不能进入障碍。

计算：在空地中随机选择起点和终点（可以重合，此时最短耗时为0），从起点移动到终点最短耗时的平均值。
每一行每一列至多有1个障碍，并且障碍不在对角线方向相邻。以下矩阵是不合法的：
.X
X.

Solution

先计算出两两点的曼哈顿距离，这个可以把x,y两个维度分开来做，维护两个变量，直接扫即可，
剩下的，我们发现如果要绕行，每个绕行只会让路程增加2，
于是我们只需要你统计有多少个需要绕行即可，
先考虑上下的绕行，绕行只存在于一个障碍的上边和下边，以及往左，往右，具体情况比较复杂，上个图：（红蓝表示要绕行的点群）大家看图生动形象理解一下吧
这里写图片描述
左右的绕行类似，
复杂度： $O(n^2)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1050;
int read(int &n)
{
    char ch=' ';int q=0,w=1;
    for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n;
LL ans;
bool a[N][N];
int S[N],H[N];
int main()
{
    LL q,T;char ch;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    fo(i,1,n)fo(j,1,m)
    {
        for(ch=getchar();ch!='.'&&ch!='X';ch=getchar());
        if(ch=='X')a[i][j]=1,S[i]=j,H[j]=i;
    }
    q=T=0;
    fo(i,1,n){fo(j,1,m)if(!a[i][j])ans+=q,T++;q+=T;}
    q=T=0;
    fo(i,1,m){fo(j,1,n)if(!a[j][i])ans+=q,T++;q+=T;}
    fo(i,1,n)if(S[i])
    {
        q=0;
        for(int j=i;j>0&&S[j]>q;j--)q=S[j],ans+=2*(m-q)*(S[i]-1);
        q=S[i];
        for(int j=i-1;j>0&&S[j]<q&&S[j];j--)q=S[j],ans+=2*(q-1)*(m-S[i]);
    }
    fo(i,1,m)if(H[i])
    {
        q=0;
        for(int j=i;j>0&&H[j]>q;j--)q=H[j],ans+=2*(n-q)*(H[i]-1);
        q=H[i];
        for(int j=i-1;j>0&&H[j]<q&&H[j];j--)q=H[j],ans+=2*(q-1)*(n-H[i]);
    }
    printf("%.4lf\n",(double)2*ans/(T*T));
    return 0;
}