JZOJ 3053. 旅行

Problem

Description

给定一个n行m列的字符矩阵，’.’代表空地，’X’代表障碍。移动的规则是：每秒钟以上下左右四个方向之一移动一格，不能进入障碍。
计算：在空地中随机选择起点和终点（可以重合，此时最短耗时为0），从起点移动到终点最短耗时的平均值。
每一行每一列至多有1个障碍，并且障碍不在对角线方向相邻。以下矩阵是不合法的：
.X
X.

Input

第一行两个整数n, m。
接下来n行，每行m个字符’.’或’X’。

Output

平均耗时，保留4位小数，四舍五入。

Sample Input

2 2
..
.X

Sample Output

0.8889

Data Constraint

2<=n,m<=1000

Solution

想要拿到前面50分很简单。
先求所有点的曼哈顿距离。首先$(x_1,y_1)到(x_2,y_2)$的曼哈顿距离=$|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
我们枚举i,j两行，那么我们可以发现，随便在i行取一个点，再从j行取一个点，这两个点的横坐标差相同，都是$|i-j|$。那么$\Sigma |x_1-x_2|=2*(第i行空地的数量)*(第j行空地的数量)*|i-j|$。
用同样的方法求$\Sigma |y_1-y_2|$就可以拿50分。
对于后50分，我们还要观察到某些点对的耗时的性质。
有一些点对他们的耗时=他们的曼哈顿距离+2.因为他们之间有障碍，要绕过障碍才能彼此到达对方。那么这些点满足什么条件呢？
我们先考虑列的情况。
图1

图1中红蓝两个点满足情况。
图2

图2中红蓝两种点和黄绿两种点满足情况。
对于一个有障碍的列，假如我们做到第i列，我们往两边搜，如果发现第j列有障碍，且第j列的障碍在第i列的障碍上方，这个时候我们要将第j列的障碍上面的所有点算上。搜到没有障碍或障碍比第i列的障碍要低就结束。
行的情况自己考虑。
然后我们统计这些点对进答案就行了。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring> 
#define N 1010
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int n,m,i,j,h[N],l[N],hx[N],lx[N];
double pj,sum,tot,size;
char a[N][N];
int main()
{
    memset(hx,127,sizeof(hx));
    memset(lx,127,sizeof(lx));
    scanf("%d%d\n",&n,&m);
    fo(i,1,n)
    {
        fo(j,1,m)
        {
            scanf("%c",&a[i][j]);
            if (a[i][j]=='.') h[i]++,l[j]++,tot++;
            if (a[i][j]=='X') hx[i]=j,lx[j]=i;
        }
        scanf("\n");
    }
    fo(i,1,n-1) fo(j,i+1,n) sum+=h[i]*h[j]*abs(i-j)*2/(tot*tot);
    fo(i,1,m-1) fo(j,i+1,m) sum+=l[i]*l[j]*abs(i-j)*2/(tot*tot);
    fo(i,1,m)
        if (lx[i]!=2139062143)
        {
            size=lx[i]-1;
            fd(j,i-1,1) if (lx[j]<lx[j+1]) size+=lx[j]-1;else break;
            fo(j,i+1,m) if (lx[j]<lx[j-1]) size+=lx[j]-1;else break;
            sum+=size*(n-lx[i])*4/(tot*tot);
        }
    fo(i,1,n)
        if (hx[i]!=2139062143) 
        {
            size=hx[i]-1;
            fd(j,i-1,1) if (hx[j]<hx[j+1]) size+=hx[j]-1;else break;
            fo(j,i+1,n) if (hx[j]<hx[j-1]) size+=hx[j]-1;else break;
            sum+=size*(m-hx[i])*4/(tot*tot);
        }
    printf("%.4lf",sum);
}