【BZOJ 3157】【BZOJ 3516】国王奇遇记-优快云博客

本文介绍了一种多项式求和的高效算法，包括倍增法和利用组合恒等式的优化方法，通过递推公式实现复杂度为O(log(n)*m^2)和O(m^2)的解决方案。

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这里写图片描述

Solution1

用倍增搞，
设 $S_{k,q}=\sum_{i=1}^k i^q*m^i$
从 $S_k$ 转移到 $S_{k+1}$ 显然，
从 $S_k$ 转移到 $S_{2k}$ ：

S 2 k, q = S k, q + m k \sum i = 1 k (i + k) q * m i

$S_{2k,q}=S_{k,q}+m^k\sum_{i=1}^k (i+k)^q*m^i$

S 2 k, q = S k, q + m k \sum i = 1 k m i * \sum j = 0 q C j q * i j * k q - j

$S_{2k,q}=S_{k,q}+m^k\sum_{i=1}^k m^i*\sum_{j=0}^q C_q^j*i^j*k^{q-j}$
调换主体：

S 2 k, q = S k, q + m k \sum j = 0 q C j q * k q - j * \sum i = 1 k i j * m i

$S_{2k,q}=S_{k,q}+m^k\sum_{j=0}^q C_q^j*k^{q-j}*\sum_{i=1}^k i^j*m^i$

S 2 k, q = S k, q + m k \sum j = 0 q C j q * k q - j * S k, j

$S_{2k,q}=S_{k,q}+m^k\sum_{j=0}^q C_q^j*k^{q-j}*S_{k,j}$

复杂度： $O(\log(n)*m^2)$

Solution2

设 $S_k=\sum_{i=1}^n i^k*m^i$ ，

(m - 1) S k = m S k - S k

$(m-1)S_k=mS_k-S_k$

(m - 1) S k = \sum i = 1 n i k * m i + 1 - \sum i = 1 n i k * m i

$(m-1)S_k=\sum_{i=1}^n i^k*m^{i+1}-\sum_{i=1}^n i^k*m^i$

(m - 1) S k = \sum i = 2 n + 1 (i - 1) k * m i + 1 - \sum i = 1 n i k * m i

$(m-1)S_k=\sum_{i=2}^{n+1} (i-1)^k*m^{i+1}-\sum_{i=1}^n i^k*m^i$
把

(i−1)k $(i-1)^k$ 拆开，发现一堆可以抵消，整理一下：

(m - 1) S k = n k m n + 1 - m + \sum j = 1 k C j k * (- 1) j * \sum i = 2 n m i * i k - j

$(m-1)S_k=n^k m^{n+1}-m+\sum_{j=1}^k C^j_k*(-1)^j*\sum_{i=2}^n m^i*i^{k-j}$
或者：（但要注意k=0的情况）

(m - 1) S k = n k m n + 1 + \sum j = 1 k C j k * (- 1) j * \sum i = 1 n m i * i k - j

$(m-1)S_k=n^k m^{n+1}+\sum_{j=1}^k C^j_k*(-1)^j*\sum_{i=1}^n m^i*i^{k-j}$

(m - 1) S k = n k m n + 1 + \sum j = 1 k C j k * (- 1) j * S k - j

$(m-1)S_k=n^k m^{n+1}+\sum_{j=1}^k C^j_k*(-1)^j*S_{k-j}$
愉快的用

O(m2) $O(m^2)$ 搞，

Code

Solution2:

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1500,mo=1000000007;
LL n,m;
LL C[N][N];
LL S[N];
LL ksm(LL q,LL w)
{
    LL ans=1;q%=mo;
    while(w)
    {
        if(w%2)ans=(ans*q)%mo;
        (q*=q)%=mo;w=w/2;
    }
    return ans;
}
LL ss(LL q)
{
    LL ans=ksm(n,q)*ksm(m,n+1)%mo;
    fo(i,1,q)(ans+=C[q][i]*((i%2)?-1:1)*S[q-i])%=mo;
    return (ans%mo+mo)%mo;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    if(m==1){printf("%lld\n",(1+n%mo)*n%mo/2%mo);return 0;}
    fo(i,0,m+1)
    {
        C[i][0]=1;
        fo(j,1,i)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mo;
    }
    LL mn=ksm(m-1,mo-2);
    S[0]=((ksm(m,n+1)-m)%mo+mo)%mo*mn%mo;
    fo(i,1,m)S[i]=(ss(i)*mn)%mo;
    printf("%lld\n",S[m]);
    return 0;
}