[bzoj3157][bzoj3516][数论]国王奇遇记/国王奇遇记加强版

Description

求
$$\sum _{i=1}^n{i}^m{m}^i$$

Input

共一行包括两个正整数N和M。

Output

共一行为所求表达式的值对10^9+7取模的值。

Sample Input

5 3

Sample Output

36363

HINT

1<=N<=10^9,1<=M<=1000

题解

好高妙啊
我这种一看就只会拆斯特林数的sb没活路了啊
我们发现$m$很小，又是一个$m^2$可过的玩意我就想到拆斯特林数了听说可以猜想递推
递推当然递推$m$啦，根据题解我们递推在次幂的那个玩意
对于$f[0]$，他是个等比数列，直接做就好了
然后我们开始拓展
$$f[k]\ast m=\sum _{i=1}^n{i}^k\ast m^{i+1}$$
类似等比数列的，我们减去自己尝试开始化简
$$f[k]\ast (m-1)=\sum _{i=1}^n{i}^k\ast m^{i+1}-\sum _{i=1}^n{i}^k-m^i$$
$$=\sum _{i=2}^{n+1}(i-1{)}^k\ast m^i-\sum _{i=1}^n{i}^k\ast m^i$$
$$=n^k\ast m^{n+1}+\sum _{i=1}^n{m}^i\ast [(i-1{)}^k-i^k]$$
后面二项式展开得到
$$=n^k\ast m^{n+1}+\sum _{i=1}^n{m}^i\ast (\sum _{j=0}^k{i}^j\ast (-1{)}^{k-j}\ast C_k^j-i^k)$$
$$=n^k\ast m^{n+1}+\sum _{i=1}^n{m}^i\ast \sum _{j=0}^{k-1}{i}^j\ast (-1{)}^{k-j}\ast C_k^j$$
套路地交换求和次序
$$=n^k\ast m^{n+1}+\sum _{j=0}^{k-1}(-1{)}^{k-j}\ast C_k^j\ast \sum _{i=1}^n{m}^i\ast i^j$$
注意到后面是我们$f$的定义式
所以递推有
$$f[k]=\frac{n^k\ast m^{n+1}+{\sum }_{j=0}^{k-1}(-1{)}^{k-j}\ast C_k^j\ast f[j]}{m-1}$$
优美的$m^2$
有时候
推推递推式会使得题目更加优美…
似乎还有$O(m)$的神仙做法？咕了咕了

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<map>
#include<bitset>
#include<set>
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair<long long,long long>
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(int x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(int x){write(x);putchar('\n');}
const int MAXM=1005;
const int mod=1e9+7;
int pow_mod(int a,int b)
{
	int ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
		a=1LL*a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
int n,m;
int f[MAXM];
int C[MAXM][MAXM];
void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
void dl(int &x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
int main()
{
	n=read();m=read();
	if(m==1)pr2(1LL*n*(n+1)/2%mod);
	else
	{
		for(int i=0;i<MAXM;i++)
		{
			C[i][0]=1;
			for(int j=1;j<MAXM;j++)C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%mod;
		}
		int inv=pow_mod(m-1,mod-2),pw=pow_mod(m,n+1);
		f[0]=1LL*m*(pow_mod(m,n)-1)%mod*inv%mod;
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			pw=1LL*pw*n%mod;
			f[i]=pw;
			for(int j=0;j<i;j++)
			{
				if((i-j)&1)dl(f[i],1LL*C[i][j]*f[j]%mod);
				else ad(f[i],1LL*C[i][j]*f[j]%mod);
			}
			f[i]=1LL*f[i]*inv%mod;
		}
		pr2(f[m]);
	}
	return 0;
}