高等数学笔记-乐经良老师-第七章-向量代数与空间解析几何(Ⅰ)

高等数学笔记-乐经良老师

第七章 向量代数与空间解析几何(Ⅰ)

第一节 空间直角坐标系

一、空间直角坐标系

  • 空间直角坐标系

    • 选定原点 OOO,作三条两两垂直的数轴,标为 xxxyyyzzz 轴,构成空间直角坐标系

    • 如图,可称为横轴,纵轴,竖轴。

    • 约定:x,y,xx,y,xx,y,x 轴成右手系

  • 坐标平面

    xOyxOyxOy 平面,yOzyOzyOz 平面,zOxzOxzOx 平面

  • 卦限

    八个卦限,由坐标平面将空间分成八个部分。

二、点与坐标

  • 根据直角坐标系,将点与坐标一一对应。

  • M↔1−1(x,y,z)M \xleftrightarrow{1-1} (x,y,z)M11(x,y,z)↔1−1\xleftrightarrow{1-1}11 坐标

  • 如图所示,可记为 M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z)

    在这里插入图片描述

  • M1(x1,y2,z1)M_1(x_1,y_2,z_1)M1(x1,y2,z1)M2(x2,y2,z2)M_2(x_2,y_2,z_2)M2(x2,y2,z2) 的距离

    d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}d=(x2x1)2+(y2y1)2+(z2z1)2

  • 建立了空间直角坐标的空间,记为 R3\boldsymbol{R^3}R3

第二节 向量及其线性运算

一、向量的概念

  • 什么是向量

    不仅有数值大小,而且有方向的量称为向量。

  • 几何表示
    • 在这里插入图片描述

    • 用既有长度又有方向的线段(有向线段)来表示(不唯一)

    • 起点 AAA,终点 BBB 的有向线段其长度表示向量大小,方向表示向量方向。

    • 记为 AB→\overrightarrow{A B}AB,或小写字母表示(如 a⃗,b⃗,i⃗\vec{a},\vec{b},\vec{i}a,b,i

  • 向量的模(或长度)
    • 什么是向量的模

      表示向量的有向线段的长度,记为 ∣a⃗∣|\vec{a}|a .

    • 单位向量

      模为1的向量称为单位向量。

    • 零向量

      模为零的向量称为零向量,记为 000

      零向量的方向规定为任意的,可据情况任意指定。

  • 向量相等
    • 什么是相等

      若向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b 的大小和方向均相同,称 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b 相等,记为 a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b}a=b .

    • 平移不变性

      向量相等的定义意味着:向量有平移不变性。

      在这里插入图片描述

      有时有向线段和它表示的向量不做严格区分。

  • 向量的坐标
    • 坐标
      向量 a⃗ ↔1−1 OP→ ↔1−1P点 ↔1−1 P的坐标(a1,a2,a3)↔1−1向量的坐标↔1−1向量 a⃗ \begin{aligned} & 向量\ \vec{a} \ \xleftrightarrow{1-1} \ \overrightarrow{O P} \ \xleftrightarrow{1-1} P 点 \ \xleftrightarrow{1-1} \ P的坐标(a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ & \xleftrightarrow{1-1} 向量的坐标 \xleftrightarrow{1-1} 向量\ \vec{a} \end{aligned} 向量 a 11 OP 11P 11 P的坐标(a1,a2,a3)11向量的坐标11向量 a

    • 示意图

      在这里插入图片描述

    • 定位向量

      相等的向量中,起点在原点的向量称为定位向量

      向量 a⃗=(a1,a2,a3) 称为点P=(a1,a2,a3)的定位向量向量\ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \ 称为点P=(a_1,a_2,a_3)的定位向量向量 a=(a1,a2,a3) 称为点P=(a1,a2,a3)的定位向量

      向量 a→=(a1,a2,a3)的模向量\ \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)的模向量 a=(a1,a2,a3)的模∣a⃗∣=∣OP→∣=a12+a22+a33|\vec{a}|=|\overrightarrow{O P}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^3}a=OP=a12+a22+a33

二、向量的线性运算

01 向量的加减法
  • 向量的加法
    • 设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),向量 b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)b=(b1,b2,b3)
    • 定义 a⃗+b⃗=def(a1+b1,a2+b2,a3+b3)\vec{a}+\vec{b} \stackrel{def}{=} \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right)a+b=def(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 为向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b
    • 这种运算称为向量的加法
    • 在这里插入图片描述
  • 向量的减法
    • 设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),向量 b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)b=(b1,b2,b3)

    • 定义 −a⃗=(−a1,−a2,−a3)-\vec{a}=(-a_1,-a_2,-a_3)a=(a1,a2,a3) ,称 −a⃗-\vec{a}aa⃗\vec{a}a负向量

    • 从而 b⃗−a⃗=def(b1−a1,b2−a2,b3−a3)\vec{b}-\vec{a} \stackrel{def}{=} \left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\right)ba=def(b1a1,b2a2,b3a3) 为向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b

    • 这种运算称为向量的减法

    • A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) 为空间两点,则

      AB→=OB→−OA→=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right)AB=OBOA=(x2x1,y2y1,z2z1)

  • 几何意义
    • 三角形法则
    • 平行四边形法则
    • 在这里插入图片描述
  • 加法运算律
    • a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}a+b=b+a(交换律)

    • (a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)

    • a⃗+0→=a⃗\vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}a+0=a

    • a⃗+(−a⃗)=0→\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{0}a+(a)=0

    • 向量连加形式

      由加法的结合律,可写出向量连加形式 a1⃗+a2⃗+⋯+an⃗\vec{a_{1}}+\vec{a_{2}}+\cdots+\vec{a_{n}}a1+a2++an
      在这里插入图片描述

02 向量的数乘
  • 向量的数乘
    • 设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3)λ\lambdaλ 为实数,
    • 定义 λa⃗=def(λa1,λa2,λa3)\lambda \vec{a} \stackrel{def}{=} \left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)λa=def(λa1,λa2,λa3) 为向量 a⃗\vec{a}a数乘向量
    • 这种运算称为 λ\lambdaλ 与向量的数乘运算。
  • 几何意义
    • 向量沿同向或反向的伸缩
    • 在这里插入图片描述
  • 数乘的模

    ∣λa⃗∣=∣λ∣⋅∣a⃗∣|\lambda \vec{a}|=|\lambda| \cdot|\vec{a}|λa=λa

  • 向量平行
    • 什么是向量平行

      向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 的方向相同或相反, 称它们平行或共线,记为 b⃗ // a⃗\vec{b} \ / / \ \vec{a}b // a .

    • 命题:若 a⃗≠0\vec{a} \neq 0a=0

      则有:b⃗//a⃗ ↔充分必要条件 存在数λ,使 b⃗=λa⃗\vec{b} // \vec{a} \ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \ 存在数 \lambda ,使 \ \vec{b}=\lambda \vec{a}b//a 充分必要条件 存在数λ,使 b=λa .

    • 推论:若 a⃗≠0,b⃗≠0\vec{a}\neq 0,\vec{b} \neq 0a=0,b=0

      则有:b⃗//a⃗ ↔充分必要条件 b1a1=b2a2=b3a3 或 a1b1=a2b2=a3b3\vec{b} // \vec{a} \ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \ \frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{a_{2}}=\frac{b_{3}}{a_{3}} \text { 或 } \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}b//a 充分必要条件 a1b1=a2b2=a3b3  b1a1=b2a2=b3a3 .

  • 数乘的运算律

    • 1a⃗=a⃗1 \vec{a}=\vec{a}1a=a

    • μ(λa⃗)=(μλ)a⃗\mu(\lambda \vec{a})=(\mu \lambda) \vec{a}μ(λa)=(μλ)a(结合律)

    • (λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗(\lambda+\mu) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}(λ+μ)a=λa+μa(对数的分配律)

    • λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}λ(a+b)=λa+λb(对向量的分配律)

    • 简单事实

      (1) 若 a⃗≠0\vec{a} \neq 0a=01∣a⃗∣a⃗\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}a1a 是与 a⃗\vec{a}a 平行的单位向量 ( 单位化 ) ,记为 a0⃗\vec{a^0}a0 .

      (2) 若 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3)a0⃗=1a12+a22+a32(a1,a2,a3)\vec{a^0}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)a0=a12+a22+a321(a1,a2,a3) .

  • 标准(正交)基

    • i⃗=(1,0,0),j⃗=(0,1,0),k⃗=(0,0,1)\vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1)i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
    • 任一向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)a=(a1,a2,a3) 可以表示为
    • a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec{a}=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k}a=a1i+a2j+a3k
  • 共面

    • 什么是共面

      若将向量 a1→,a2→,⋯ ,an→\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}a1,a2,,an 的起点移至同一点,它们的起点与终点都在同一平面,称这些向量共面

    • aaabbb 不共线

      c⃗,a⃗,b⃗ 共面↔充分必要条件存在数λ,μ,使 c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c},\vec{a},\vec{b}\ 共面 \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } 存在数 \lambda, \mu, 使\ \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}c,a,b 共面充分必要条件存在数λ,μ,使 c=λa+μb .

    • aaabbbccc 不共面

      任一向量d⃗⟶存在数λ,μ,ν,使 d⃗=λa⃗+μb⃗+vc⃗任一向量 \vec{d} \longrightarrow 存在数 \lambda,\mu,\nu,使 \ \vec{d}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+v \vec{c}任一向量d存在数λ,μ,ν,使 d=λa+μb+vc(线性组合) .

第三节 向量的数量积和向量积

一、向量的数量积

  • 数量积的概念

    • a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
    • 定义 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}ab=a1b1+a2b2+a3b3 为向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b数量积内积.
    • 通俗地叫做点乘
  • 运算律

    • a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}ab=ba交换律
    • (λa⃗)⋅b⃗=λ(a⃗⋅b⃗)(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})(λa)b=λ(ab)结合律
    • a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}a(b+c)=ab+ac分配律
  • 向量的夹角

    • 将向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 平移到同一起点,表示它们的有向线段间的夹角 θ (0≤θ≤π)\theta \ (0 \leq \theta \leq \pi)θ (0θπ)

      称为向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b 的夹角,记为 (a⃗,b⃗^)(\hat{\vec{a},\vec{b}})(a,b^)<a⃗,b⃗><\vec{a},\vec{b}><a,b> .

    • 零向量与任一向量的夹角规定为任意的,可据需要取 000π\piπ 之间的任何值。

    • (a⃗,b⃗)=π2(\vec{a}, \vec{b})=\frac{\pi}{2}(a,b)=2π,称向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b 正交,记为 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}ab .

    • (a⃗,b⃗)=0,π⟺a⃗ // b⃗(\vec{a}, \vec{b})=0,\pi \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{a}\ // \ \vec{b}(a,b)=0,πa // b .

    • 在这里插入图片描述

  • 定理:数量积的表示

    • 定理:a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡<a⃗,b⃗>\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos <\vec{a},\vec{b}>ab=a∣∣bcos<a,b> .

    • 用内积表示模和夹角:
      若 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3),设两向量的夹角为 θ∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗=a12+a22+a32cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 \begin{aligned} & 若 \ \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right),设两向量的夹角为 \ \theta \\ & |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \\ & \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}} \end{aligned}  a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),设两向量的夹角为 θa=aa=a12+a22+a32cosθ=a∣∣bab=a12+a22+a32b12+b22+b32a1b1+a2b2+a3b3

    • a⃗⊥b⃗↔充分必要条件a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \vec{a} \cdot \vec{b} = 0ab充分必要条件ab=0

  • 标准正交基

    i⃗=(1,0,0)\vec{i}=(1,0,0)i=(1,0,0) j⃗=(0,1,0)\ \vec{j}=(0,1,0) j=(0,1,0) k⃗=(0,0,1)\ \vec{k}=(0,0,1) k=(0,0,1) 是两两正交的,故称为标准正交基

  • 方向余弦

    • 方向角: α=(a⃗,i⃗^), β=(a⃗,j⃗^), γ=(a⃗,k⃗^)\alpha=( \hat{\vec{a} , \vec{i}} ), \ \beta=( \hat{\vec{a} , \vec{j}} ), \ \gamma=( \hat{\vec{a} , \vec{k}} )α=(a,i^), β=(a,j^), γ=(a,k^)

    • 方向余弦:cos⁡α, cos⁡β, cos⁡γ\cos \alpha,\ \cos \beta, \ \cos \gammacosα, cosβ, cosγ

    • 在这里插入图片描述

  • 向量的投影

    • a⃗≠0\vec{a}\neq0a=0a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b 的夹角为 θ\thetaθ,向量 b⃗\vec{b}ba⃗\vec{a}a 上的投影b⃗a⃗=def∣b⃗∣cos⁡θ\vec{b}_{\vec{a}} \stackrel{def}{=} |\vec{b}| \cos\thetaba=defbcosθ实数)。

    • 如图所示 lll 上的 A1B1A_1B_1A1B1 的长度是投影的绝对值。

      也就是说,投影是有正负的。

      在这里插入图片描述

    • 向量 A1B1→\overrightarrow{A_1 B_1}A1B1 称为 b⃗\vec{b}ba⃗\vec{a}a 的投影向量,记为 Prja⃗b⃗Prj_{\vec{a}}\vec{b}Prjab .

    • Prja⃗b⃗=b⃗a⃗a0⃗Prj_{\vec{a}}\vec{b}=\vec{b}_{\vec{a}}\vec{a^0}Prjab=baa0

  • 数量积的几何解释

    • a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣b⃗a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \vec{b}_{\vec{a}} \quadab=aba (投影的放大或缩小)
    • ∣a⃗∣=1|\vec{a}|=1a=1a⃗⋅b⃗=b⃗a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b}_{\vec{a}}ab=ba ,因此 b⃗a⃗=b⃗⋅a0→\vec{b}_{\vec{a}}=\vec{b} \cdot \overrightarrow{a^{0}}ba=ba0
  • 一个物理解释

    • 物体在力 F⃗\vec{F}F 作用下沿直线从点 M1M_{1}M1 移动到点 M2M _{2}M2,力 FFF 所作的功为 WWW

      在这里插入图片描述

    • 位移 s⃗=M1M2→\vec{s}=\overrightarrow{M_{1} M_{2}}s=M1M2

    • F⃗\vec{F}F 在位移 S⃗\vec{S}S 方向分量 ∣F⃗∣cos⁡θ|\vec{F}| \cos \thetaFcosθ

    • 从而 W=∣F⃗∣cos⁡θ∣s⃗∣⟹W=F⃗⋅s⃗W=|\vec{F}| \cos \theta|\vec{s}|\quad \Longrightarrow \quad W=\vec{F} \cdot \vec{s}W=FcosθsW=Fs .

二、向量的向量积

  • 向量积的概念

    a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),定义:
    a⃗×b⃗=def(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1) \vec{a} \times \vec{b}\stackrel{def}{=}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) a×b=def(a2b3a3b2,a3b1a1b3,a1b2a2b1)
    称为向量 a⃗\vec{a}ab⃗\vec{b}b向量积外积(通俗地叫做叉乘)。

    可表达为:
    a⃗×b⃗=(∣a2a3b2b3∣,∣a3a1b3b1∣,∣a1a2b1b2∣)=(∣a2a3b2b3∣,−∣a1a3b1b3∣,∣a1a2b1b2∣)=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣ \vec{a} \times \vec{b}=\left(\left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|\right) =\left(\left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|\right) =\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right| a×b=(a2b2a3b3,a3b3a1b1,a1b1a2b2)=(a2b2a3b3,a1b1a3b3,a1b1a2b2)=ia1b1ja2b2ka3b3

  • 向量积的几何意义

    • ∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin⁡<a⃗,b⃗>|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin <\vec{a}, \vec{b}>a×b=a∣∣bsin<a,b> 表示 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 为邻边的平行四边形的面积

    • 外积 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a×b 方向与 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 均正交,且成右手系。

      在这里插入图片描述

    • a⃗=(a1,a2)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)a=(a1,a2)b⃗=(b1,b2)\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)b=(b1,b2) 为二维向量,以 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 为邻边的平行四边形的面积为:
      A=∥a1a2b1b2∥ A=\left\|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2}\end{array}\right\| A=a1b1a2b2

  • 运算律

    • a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}a×b=b×a(不满足交换律)

    • (λa⃗)×b⃗=a⃗×(λb⃗)=λ(a⃗×b⃗)(\lambda \vec{a}) \times \vec{b}=\vec{a} \times(\lambda \vec{b})=\lambda(\vec{a} \times \vec{b})(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)

    • (a⃗+b⃗)×c⃗=a⃗×c⃗+b⃗×c⃗(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}(a+b)×c=a×c+b×c(满足分配律)

    • 容易验证:
      i⃗×i⃗=0→,j⃗×j⃗=0→,k⃗×k⃗=0→i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗ \begin{aligned} &\vec{i} \times \vec{i}=\overrightarrow{0}, \vec{j} \times \vec{j}=\overrightarrow{0}, \vec{k} \times \vec{k}=\overrightarrow{0} \\ &\vec{i} \times \vec{j}=\vec{k}, \vec{j} \times \vec{k}=\vec{i}, \vec{k} \times \vec{i}=\vec{j} \end{aligned} i×i=0,j×j=0,k×k=0i×j=k,j×k=i,k×i=j

三、向量的混合积

  • 向量的混合积

    • a⃗×b⃗⋅c⃗\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}a×bc 记为 [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}][a,b,c]

    • 根据内积定义
      [a⃗,b⃗,c⃗]=∣a⃗×b⃗∣∣c⃗∣cos⁡(a⃗×b⃗,b⃗^) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=|\vec{a} \times \vec{b}||\vec{c}| \cos ( \vec{a} \times \hat{\vec{b} , \vec{b}} ) [a,b,c]=a×b∣∣ccos(a×b,b^)

  • 混合积的几何意义

    • 由于 ∣c⃗∣cos⁡(a⃗×b⃗,b⃗^)=c⃗|\vec{c}| \cos ( \vec{a} \times \hat{\vec{b} , \vec{b}} )=\vec{c}ccos(a×b,b^)=c ,所以 [a⃗,b⃗,c⃗]=∣a⃗×b⃗∣ c⃗a⃗×b⃗[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=|\vec{a} \times \vec{b}|\ \vec{c}_{\vec{a} \times \vec{b}}[a,b,c]=a×b ca×b .

      在这里插入图片描述

    • ∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=∣a⃗×b⃗⋅c⃗∣|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|=|\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}|[a,b,c]=a×bc 是以 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}a,b,c 为同顶点三条棱的平行六面体的体积。

  • 向量混合积的坐标表示
    [a⃗,b⃗,c⃗]=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| [a,b,c]=a1b1c1a2b2c2a3b3c3

  • 几个结论

    • a⃗,b⃗,c⃗ 成右手系, [a⃗,b⃗,c⃗]>0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 成右手系, }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]>0a,b,c 成右手系[a,b,c]>0

      a⃗,b⃗,c⃗ 成左手系, [a⃗,b⃗,c⃗]<0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 成左手系, }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]<0a,b,c 成左手系[a,b,c]<0

    • a⃗,b⃗,c⃗ 共面 ↔充分必要条件[a⃗,b⃗,c⃗]=0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 共面 } \xleftrightarrow{ 充分必要条件 }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0a,b,c 共面 充分必要条件[a,b,c]=0

    • a⃗×b⃗⋅c⃗=b⃗×c⃗⋅a⃗=c⃗×a⃗⋅b⃗\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a}=\vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b}a×bc=b×ca=c×ab(轮换次序不变 abcaabcaabca

        =c⃗⋅a⃗×b⃗=a⃗⋅b⃗×c⃗=b⃗⋅c⃗×a⃗\ \ =\vec{c} \cdot \vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c} \times \vec{a}  =ca×b=ab×c=bc×a

最后

😊为防止河蟹,链接已经通过“与熊论道/熊曰加密”加密处理,将下面的文字复制到“与熊论道/熊曰加密”页面的第二个输入框,点击“领悟熊所言的真谛”即可查看链接啦:
😊熊曰:呋食食食告非象嗚家吃呱山萌萌笨有哞魚既魚性蜜覺呆食哮性洞哮山噗眠嗥嚄萌洞擊嗄襲呱物人你
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