高等数学笔记-乐经良老师
第七章 向量代数与空间解析几何(Ⅰ)
第一节 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系
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空间直角坐标系
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选定原点 OOO,作三条两两垂直的数轴,标为 xxx,yyy,zzz 轴,构成空间直角坐标系。
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如图,可称为横轴,纵轴,竖轴。
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约定:x,y,xx,y,xx,y,x 轴成右手系。
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坐标平面
xOyxOyxOy 平面,yOzyOzyOz 平面,zOxzOxzOx 平面
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卦限
八个卦限,由坐标平面将空间分成八个部分。
二、点与坐标
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根据直角坐标系,将点与坐标一一对应。
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M↔1−1(x,y,z)M \xleftrightarrow{1-1} (x,y,z)M1−1(x,y,z) 点 ↔1−1\xleftrightarrow{1-1}1−1 坐标
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如图所示,可记为 M(x,y,z)M(x,y,z)M(x,y,z)
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点 M1(x1,y2,z1)M_1(x_1,y_2,z_1)M1(x1,y2,z1) 与 M2(x2,y2,z2)M_2(x_2,y_2,z_2)M2(x2,y2,z2) 的距离
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2
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建立了空间直角坐标的空间,记为 R3\boldsymbol{R^3}R3
第二节 向量及其线性运算
一、向量的概念
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什么是向量
不仅有数值大小,而且有方向的量称为向量。
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几何表示
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用既有长度又有方向的线段(有向线段)来表示(不唯一)
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起点 AAA,终点 BBB 的有向线段其长度表示向量大小,方向表示向量方向。
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记为 AB→\overrightarrow{A B}AB,或小写字母表示(如 a⃗,b⃗,i⃗\vec{a},\vec{b},\vec{i}a,b,i)
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向量的模(或长度)
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什么是向量的模
表示向量的有向线段的长度,记为 ∣a⃗∣|\vec{a}|∣a∣ .
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单位向量
模为1的向量称为单位向量。
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零向量
模为零的向量称为零向量,记为 000,
零向量的方向规定为任意的,可据情况任意指定。
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向量相等
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什么是相等
若向量 a⃗\vec{a}a,b⃗\vec{b}b 的大小和方向均相同,称 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 相等,记为 a⃗=b⃗\vec{a}=\vec{b}a=b .
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平移不变性
向量相等的定义意味着:向量有平移不变性。
有时有向线段和它表示的向量不做严格区分。
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向量的坐标
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坐标
向量 a⃗ ↔1−1 OP→ ↔1−1P点 ↔1−1 P的坐标(a1,a2,a3)↔1−1向量的坐标↔1−1向量 a⃗ \begin{aligned} & 向量\ \vec{a} \ \xleftrightarrow{1-1} \ \overrightarrow{O P} \ \xleftrightarrow{1-1} P 点 \ \xleftrightarrow{1-1} \ P的坐标(a_{1}, a_{2}, a_{3}) \\ & \xleftrightarrow{1-1} 向量的坐标 \xleftrightarrow{1-1} 向量\ \vec{a} \end{aligned} 向量 a 1−1 OP 1−1P点 1−1 P的坐标(a1,a2,a3)1−1向量的坐标1−1向量 a -
示意图
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定位向量
相等的向量中,起点在原点的向量称为定位向量
向量 a⃗=(a1,a2,a3) 称为点P=(a1,a2,a3)的定位向量向量\ \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) \ 称为点P=(a_1,a_2,a_3)的定位向量向量 a=(a1,a2,a3) 称为点P=(a1,a2,a3)的定位向量
向量 a→=(a1,a2,a3)的模向量\ \overrightarrow{a}=(a_1,a_2,a_3)的模向量 a=(a1,a2,a3)的模:∣a⃗∣=∣OP→∣=a12+a22+a33|\vec{a}|=|\overrightarrow{O P}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^3}∣a∣=∣OP∣=a12+a22+a33
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二、向量的线性运算
01 向量的加减法
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向量的加法
- 设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),向量 b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)b=(b1,b2,b3),
- 定义 a⃗+b⃗=def(a1+b1,a2+b2,a3+b3)\vec{a}+\vec{b} \stackrel{def}{=} \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, a_{3}+b_{3}\right)a+b=def(a1+b1,a2+b2,a3+b3) 为向量 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 的和,
- 这种运算称为向量的加法。
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向量的减法
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设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),向量 b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)b=(b1,b2,b3),
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定义 −a⃗=(−a1,−a2,−a3)-\vec{a}=(-a_1,-a_2,-a_3)−a=(−a1,−a2,−a3) ,称 −a⃗-\vec{a}−a 为 a⃗\vec{a}a 的负向量。
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从而 b⃗−a⃗=def(b1−a1,b2−a2,b3−a3)\vec{b}-\vec{a} \stackrel{def}{=} \left(b_{1}-a_{1}, b_{2}-a_{2}, b_{3}-a_{3}\right)b−a=def(b1−a1,b2−a2,b3−a3) 为向量 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 的差,
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这种运算称为向量的减法。
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若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)A\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2) 为空间两点,则
AB→=OB→−OA→=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}, z_{2}-z_{1}\right)AB=OB−OA=(x2−x1,y2−y1,z2−z1)
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几何意义
- 三角形法则
- 平行四边形法则
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加法运算律
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a⃗+b⃗=b⃗+a⃗\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}a+b=b+a(交换律)
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(a⃗+b⃗)+c⃗=a⃗+(b⃗+c⃗)(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})(a+b)+c=a+(b+c)(结合律)
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a⃗+0→=a⃗\vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}a+0=a
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a⃗+(−a⃗)=0→\vec{a}+(-\vec{a})=\overrightarrow{0}a+(−a)=0
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向量连加形式
由加法的结合律,可写出向量连加形式 a1⃗+a2⃗+⋯+an⃗\vec{a_{1}}+\vec{a_{2}}+\cdots+\vec{a_{n}}a1+a2+⋯+an
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02 向量的数乘
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向量的数乘
- 设向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),λ\lambdaλ 为实数,
- 定义 λa⃗=def(λa1,λa2,λa3)\lambda \vec{a} \stackrel{def}{=} \left(\lambda a_{1}, \lambda a_{2},\lambda a_{3}\right)λa=def(λa1,λa2,λa3) 为向量 a⃗\vec{a}a 的数乘向量,
- 这种运算称为 λ\lambdaλ 与向量的数乘运算。
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几何意义
- 向量沿同向或反向的伸缩
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数乘的模
∣λa⃗∣=∣λ∣⋅∣a⃗∣|\lambda \vec{a}|=|\lambda| \cdot|\vec{a}|∣λa∣=∣λ∣⋅∣a∣
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向量平行
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什么是向量平行
向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 的方向相同或相反, 称它们平行或共线,记为 b⃗ // a⃗\vec{b} \ / / \ \vec{a}b // a .
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命题:若 a⃗≠0\vec{a} \neq 0a=0,
则有:b⃗//a⃗ ↔充分必要条件 存在数λ,使 b⃗=λa⃗\vec{b} // \vec{a} \ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \ 存在数 \lambda ,使 \ \vec{b}=\lambda \vec{a}b//a 充分必要条件 存在数λ,使 b=λa .
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推论:若 a⃗≠0,b⃗≠0\vec{a}\neq 0,\vec{b} \neq 0a=0,b=0,
则有:b⃗//a⃗ ↔充分必要条件 b1a1=b2a2=b3a3 或 a1b1=a2b2=a3b3\vec{b} // \vec{a} \ \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \ \frac{b_{1}}{a_{1}}=\frac{b_{2}}{a_{2}}=\frac{b_{3}}{a_{3}} \text { 或 } \frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=\frac{a_{3}}{b_{3}}b//a 充分必要条件 a1b1=a2b2=a3b3 或 b1a1=b2a2=b3a3 .
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数乘的运算律
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1a⃗=a⃗1 \vec{a}=\vec{a}1a=a
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μ(λa⃗)=(μλ)a⃗\mu(\lambda \vec{a})=(\mu \lambda) \vec{a}μ(λa)=(μλ)a(结合律)
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(λ+μ)a⃗=λa⃗+μa⃗(\lambda+\mu) \vec{a}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{a}(λ+μ)a=λa+μa(对数的分配律)
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λ(a⃗+b⃗)=λa⃗+λb⃗\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda \vec{a}+\lambda \vec{b}λ(a+b)=λa+λb(对向量的分配律)
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简单事实
(1) 若 a⃗≠0\vec{a} \neq 0a=0,1∣a⃗∣a⃗\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a}∣a∣1a 是与 a⃗\vec{a}a 平行的单位向量 ( 单位化 ) ,记为 a0⃗\vec{a^0}a0 .
(2) 若 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)a=(a1,a2,a3),a0⃗=1a12+a22+a32(a1,a2,a3)\vec{a^0}=\frac{1}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)a0=a12+a22+a321(a1,a2,a3) .
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标准(正交)基
- i⃗=(1,0,0),j⃗=(0,1,0),k⃗=(0,0,1)\vec{i}=(1,0,0), \vec{j}=(0,1,0), \vec{k}=(0,0,1)i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)
- 任一向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)a=(a1,a2,a3) 可以表示为
- a⃗=a1i⃗+a2j⃗+a3k⃗\vec{a}=a_{1} \vec{i}+a_{2} \vec{j}+a_{3} \vec{k}a=a1i+a2j+a3k
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共面
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什么是共面
若将向量 a1→,a2→,⋯ ,an→\overrightarrow{a_{1}}, \overrightarrow{a_{2}}, \cdots, \overrightarrow{a_{n}}a1,a2,⋯,an 的起点移至同一点,它们的起点与终点都在同一平面,称这些向量共面。
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若 aaa,bbb 不共线
c⃗,a⃗,b⃗ 共面↔充分必要条件存在数λ,μ,使 c⃗=λa⃗+μb⃗\vec{c},\vec{a},\vec{b}\ 共面 \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } 存在数 \lambda, \mu, 使\ \vec{c}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}c,a,b 共面充分必要条件存在数λ,μ,使 c=λa+μb .
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若 aaa,bbb,ccc 不共面
任一向量d⃗⟶存在数λ,μ,ν,使 d⃗=λa⃗+μb⃗+vc⃗任一向量 \vec{d} \longrightarrow 存在数 \lambda,\mu,\nu,使 \ \vec{d}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}+v \vec{c}任一向量d⟶存在数λ,μ,ν,使 d=λa+μb+vc(线性组合) .
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第三节 向量的数量积和向量积
一、向量的数量积
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数量积的概念
- 若 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=(a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
- 定义 a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b}=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}a⋅b=a1b1+a2b2+a3b3 为向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 的数量积或内积.
- 通俗地叫做点乘。
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运算律
- a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}a⋅b=b⋅a(交换律)
- (λa⃗)⋅b⃗=λ(a⃗⋅b⃗)(\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b}=\lambda(\vec{a} \cdot \vec{b})(λa)⋅b=λ(a⋅b)(结合律)
- a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c(分配律)
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向量的夹角
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将向量 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 平移到同一起点,表示它们的有向线段间的夹角 θ (0≤θ≤π)\theta \ (0 \leq \theta \leq \pi)θ (0≤θ≤π),
称为向量 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 的夹角,记为 (a⃗,b⃗^)(\hat{\vec{a},\vec{b}})(a,b^) 或 <a⃗,b⃗><\vec{a},\vec{b}><a,b> .
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零向量与任一向量的夹角规定为任意的,可据需要取 000 到 π\piπ 之间的任何值。
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若 (a⃗,b⃗)=π2(\vec{a}, \vec{b})=\frac{\pi}{2}(a,b)=2π,称向量 a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 正交,记为 a⃗⊥b⃗\vec{a} \perp \vec{b}a⊥b .
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若 (a⃗,b⃗)=0,π⟺a⃗ // b⃗(\vec{a}, \vec{b})=0,\pi \quad \Longleftrightarrow \quad \vec{a}\ // \ \vec{b}(a,b)=0,π⟺a // b .
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定理:数量积的表示
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定理:a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos<a⃗,b⃗>\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos <\vec{a},\vec{b}>a⋅b=∣a∣∣b∣cos<a,b> .
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用内积表示模和夹角:
若 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3),设两向量的夹角为 θ∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗=a12+a22+a32cosθ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32b12+b22+b32 \begin{aligned} & 若 \ \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right),设两向量的夹角为 \ \theta \\ & |\vec{a}|=\sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \\ & \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}}{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}} \sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}} \end{aligned} 若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),设两向量的夹角为 θ∣a∣=a⋅a=a12+a22+a32cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b=a12+a22+a32b12+b22+b32a1b1+a2b2+a3b3 -
a⃗⊥b⃗↔充分必要条件a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \xleftrightarrow{ 充分必要条件 } \vec{a} \cdot \vec{b} = 0a⊥b充分必要条件a⋅b=0
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标准正交基
i⃗=(1,0,0)\vec{i}=(1,0,0)i=(1,0,0), j⃗=(0,1,0)\ \vec{j}=(0,1,0) j=(0,1,0), k⃗=(0,0,1)\ \vec{k}=(0,0,1) k=(0,0,1) 是两两正交的,故称为标准正交基。
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方向余弦
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方向角: α=(a⃗,i⃗^), β=(a⃗,j⃗^), γ=(a⃗,k⃗^)\alpha=( \hat{\vec{a} , \vec{i}} ), \ \beta=( \hat{\vec{a} , \vec{j}} ), \ \gamma=( \hat{\vec{a} , \vec{k}} )α=(a,i^), β=(a,j^), γ=(a,k^)
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方向余弦:cosα, cosβ, cosγ\cos \alpha,\ \cos \beta, \ \cos \gammacosα, cosβ, cosγ
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向量的投影
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若 a⃗≠0\vec{a}\neq0a=0,a⃗\vec{a}a 与 b⃗\vec{b}b 的夹角为 θ\thetaθ,向量 b⃗\vec{b}b 在 a⃗\vec{a}a 上的投影为 b⃗a⃗=def∣b⃗∣cosθ\vec{b}_{\vec{a}} \stackrel{def}{=} |\vec{b}| \cos\thetaba=def∣b∣cosθ(实数)。
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如图所示 lll 上的 A1B1A_1B_1A1B1 的长度是投影的绝对值。
也就是说,投影是有正负的。
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向量 A1B1→\overrightarrow{A_1 B_1}A1B1 称为 b⃗\vec{b}b 在 a⃗\vec{a}a 的投影向量,记为 Prja⃗b⃗Prj_{\vec{a}}\vec{b}Prjab .
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Prja⃗b⃗=b⃗a⃗a0⃗Prj_{\vec{a}}\vec{b}=\vec{b}_{\vec{a}}\vec{a^0}Prjab=baa0
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数量积的几何解释
- a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣b⃗a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \vec{b}_{\vec{a}} \quada⋅b=∣a∣ba (投影的放大或缩小)
- 当 ∣a⃗∣=1|\vec{a}|=1∣a∣=1,a⃗⋅b⃗=b⃗a⃗\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b}_{\vec{a}}a⋅b=ba ,因此 b⃗a⃗=b⃗⋅a0→\vec{b}_{\vec{a}}=\vec{b} \cdot \overrightarrow{a^{0}}ba=b⋅a0
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一个物理解释
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物体在力 F⃗\vec{F}F 作用下沿直线从点 M1M_{1}M1 移动到点 M2M _{2}M2,力 FFF 所作的功为 WWW
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位移 s⃗=M1M2→\vec{s}=\overrightarrow{M_{1} M_{2}}s=M1M2
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F⃗\vec{F}F 在位移 S⃗\vec{S}S 方向分量 ∣F⃗∣cosθ|\vec{F}| \cos \theta∣F∣cosθ
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从而 W=∣F⃗∣cosθ∣s⃗∣⟹W=F⃗⋅s⃗W=|\vec{F}| \cos \theta|\vec{s}|\quad \Longrightarrow \quad W=\vec{F} \cdot \vec{s}W=∣F∣cosθ∣s∣⟹W=F⋅s .
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二、向量的向量积
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向量积的概念
若 a⃗=(a1,a2,a3),b⃗=(b1,b2,b3)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),定义:
a⃗×b⃗=def(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1) \vec{a} \times \vec{b}\stackrel{def}{=}\left(a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2}, a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3}, a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}\right) a×b=def(a2b3−a3b2,a3b1−a1b3,a1b2−a2b1)
称为向量 a⃗\vec{a}a,b⃗\vec{b}b 的向量积或外积(通俗地叫做叉乘)。可表达为:
a⃗×b⃗=(∣a2a3b2b3∣,∣a3a1b3b1∣,∣a1a2b1b2∣)=(∣a2a3b2b3∣,−∣a1a3b1b3∣,∣a1a2b1b2∣)=∣i⃗j⃗k⃗a1a2a3b1b2b3∣ \vec{a} \times \vec{b}=\left(\left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|\right) =\left(\left|\begin{array}{cc} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{ll} a_{1} & a_{3} \\ b_{1} & b_{3} \end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{array}\right|\right) =\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array}\right| a×b=(a2b2a3b3,a3b3a1b1,a1b1a2b2)=(a2b2a3b3,−a1b1a3b3,a1b1a2b2)=ia1b1ja2b2ka3b3 -
向量积的几何意义
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∣a⃗×b⃗∣=∣a⃗∣∣b⃗∣sin<a⃗,b⃗>|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin <\vec{a}, \vec{b}>∣a×b∣=∣a∣∣b∣sin<a,b> 表示 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 为邻边的平行四边形的面积
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外积 a⃗×b⃗\vec{a} \times \vec{b}a×b 方向与 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 均正交,且成右手系。
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当 a⃗=(a1,a2)\vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right)a=(a1,a2),b⃗=(b1,b2)\vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)b=(b1,b2) 为二维向量,以 a⃗,b⃗\vec{a}, \vec{b}a,b 为邻边的平行四边形的面积为:
A=∥a1a2b1b2∥ A=\left\|\begin{array}{ll}a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2}\end{array}\right\| A=a1b1a2b2
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运算律
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a⃗×b⃗=−b⃗×a⃗\vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a}a×b=−b×a(不满足交换律)
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(λa⃗)×b⃗=a⃗×(λb⃗)=λ(a⃗×b⃗)(\lambda \vec{a}) \times \vec{b}=\vec{a} \times(\lambda \vec{b})=\lambda(\vec{a} \times \vec{b})(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b)
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(a⃗+b⃗)×c⃗=a⃗×c⃗+b⃗×c⃗(\vec{a}+\vec{b}) \times \vec{c}=\vec{a} \times \vec{c}+\vec{b} \times \vec{c}(a+b)×c=a×c+b×c(满足分配律)
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容易验证:
i⃗×i⃗=0→,j⃗×j⃗=0→,k⃗×k⃗=0→i⃗×j⃗=k⃗,j⃗×k⃗=i⃗,k⃗×i⃗=j⃗ \begin{aligned} &\vec{i} \times \vec{i}=\overrightarrow{0}, \vec{j} \times \vec{j}=\overrightarrow{0}, \vec{k} \times \vec{k}=\overrightarrow{0} \\ &\vec{i} \times \vec{j}=\vec{k}, \vec{j} \times \vec{k}=\vec{i}, \vec{k} \times \vec{i}=\vec{j} \end{aligned} i×i=0,j×j=0,k×k=0i×j=k,j×k=i,k×i=j
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三、向量的混合积
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向量的混合积
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a⃗×b⃗⋅c⃗\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}a×b⋅c 记为 [a⃗,b⃗,c⃗][\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}][a,b,c]
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根据内积定义
[a⃗,b⃗,c⃗]=∣a⃗×b⃗∣∣c⃗∣cos(a⃗×b⃗,b⃗^) [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=|\vec{a} \times \vec{b}||\vec{c}| \cos ( \vec{a} \times \hat{\vec{b} , \vec{b}} ) [a,b,c]=∣a×b∣∣c∣cos(a×b,b^)
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混合积的几何意义
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由于 ∣c⃗∣cos(a⃗×b⃗,b⃗^)=c⃗|\vec{c}| \cos ( \vec{a} \times \hat{\vec{b} , \vec{b}} )=\vec{c}∣c∣cos(a×b,b^)=c ,所以 [a⃗,b⃗,c⃗]=∣a⃗×b⃗∣ c⃗a⃗×b⃗[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=|\vec{a} \times \vec{b}|\ \vec{c}_{\vec{a} \times \vec{b}}[a,b,c]=∣a×b∣ ca×b .
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∣[a⃗,b⃗,c⃗]∣=∣a⃗×b⃗⋅c⃗∣|[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|=|\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}|∣[a,b,c]∣=∣a×b⋅c∣ 是以 a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}a,b,c 为同顶点三条棱的平行六面体的体积。
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向量混合积的坐标表示
[a⃗,b⃗,c⃗]=∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=\left|\begin{array}{lll} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array}\right| [a,b,c]=a1b1c1a2b2c2a3b3c3 -
几个结论
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a⃗,b⃗,c⃗ 成右手系, [a⃗,b⃗,c⃗]>0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 成右手系, }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]>0a,b,c 成右手系, [a,b,c]>0
a⃗,b⃗,c⃗ 成左手系, [a⃗,b⃗,c⃗]<0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 成左手系, }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]<0a,b,c 成左手系, [a,b,c]<0
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a⃗,b⃗,c⃗ 共面 ↔充分必要条件[a⃗,b⃗,c⃗]=0\vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \text { 共面 } \xleftrightarrow{ 充分必要条件 }[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]=0a,b,c 共面 充分必要条件[a,b,c]=0
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a⃗×b⃗⋅c⃗=b⃗×c⃗⋅a⃗=c⃗×a⃗⋅b⃗\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a}=\vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b}a×b⋅c=b×c⋅a=c×a⋅b(轮换次序不变 abcaabcaabca )
=c⃗⋅a⃗×b⃗=a⃗⋅b⃗×c⃗=b⃗⋅c⃗×a⃗\ \ =\vec{c} \cdot \vec{a} \times \vec{b}=\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}=\vec{b} \cdot \vec{c} \times \vec{a} =c⋅a×b=a⋅b×c=b⋅c×a
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最后
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